Resolver {l}{y=-2x+1}{y=4x-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - 2 x + 1 } \\ { y = 4 x - 5 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=1$$

$$y=-1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 2x bi aldeetan.

$$y+2x=1$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 4x bi aldeetatik.

$$y-4x=-5$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y+2x=1,y-4x=-5$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y+2x=1$$

Egin ken 2x ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-2x+1$$

Ordeztu -2x+1 balioa y balioarekin beste ekuazioan (y-4x=-5).

$$-2x+1-4x=-5$$

Gehitu -2x eta -4x.

$$-6x+1=-5$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-6x=-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -6 balioarekin.

$$x=1$$

Ordeztu 1 x balioarekin y=-2x+1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=-2+1$$

Gehitu 1 eta -2.

$$y=-1$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-1,x=1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 2x bi aldeetan.

$$y+2x=1$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 4x bi aldeetatik.

$$y-4x=-5$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y+2x=1,y-4x=-5$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-2}&-\frac{2}{-4-2}\\-\frac{1}{-4-2}&\frac{1}{-4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\left(-5\right)\\\frac{1}{6}-\frac{1}{6}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=-1,x=1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 2x bi aldeetan.

$$y+2x=1$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 4x bi aldeetatik.

$$y-4x=-5$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y+2x=1,y-4x=-5$$

Egin y-4x=-5 ken y+2x=1 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$y-y+2x+4x=1+5$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$2x+4x=1+5$$

Gehitu 2x eta 4x.

$$6x=1+5$$

Gehitu 1 eta 5.

$$6x=6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=1$$

Ordeztu 1 x balioarekin y-4x=-5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y-4=-5$$

Gehitu 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-1$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-1,x=1$$