Resolver {l}{y=-4/6x-5}{8x+5y=-45}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - \frac { 4 } { 6 } x - 5 } \\ { 8 x + 5 y = - 45 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x = -\frac{30}{7} = -4\frac{2}{7} \approx -4.285714286$$

$$y = -\frac{15}{7} = -2\frac{1}{7} \approx -2.142857143$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Murriztu \frac{4}{6} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$y=-\frac{2}{3}x-5$$

Ordeztu -\frac{2x}{3}-5 balioa y balioarekin beste ekuazioan (5y+8x=-45).

$$5\left(-\frac{2}{3}x-5\right)+8x=-45$$

Egin 5 bider -\frac{2x}{3}-5.

$$-\frac{10}{3}x-25+8x=-45$$

Gehitu -\frac{10x}{3} eta 8x.

$$\frac{14}{3}x-25=-45$$

Gehitu 25 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{14}{3}x=-20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{14}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=-\frac{30}{7}$$

Ordeztu -\frac{30}{7} x balioarekin y=-\frac{2}{3}x-5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=-\frac{2}{3}\left(-\frac{30}{7}\right)-5$$

Egin -\frac{2}{3} bider -\frac{30}{7}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y=\frac{20}{7}-5$$

Gehitu -5 eta \frac{20}{7}.

$$y=-\frac{15}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-\frac{15}{7},x=-\frac{30}{7}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Murriztu \frac{4}{6} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$y=-\frac{2}{3}x-5$$

Gehitu \frac{2}{3}x bi aldeetan.

$$y+\frac{2}{3}x=-5$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y+\frac{2}{3}x=-5,5y+8x=-45$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-\frac{2}{3}\times 5}&-\frac{\frac{2}{3}}{8-\frac{2}{3}\times 5}\\-\frac{5}{8-\frac{2}{3}\times 5}&\frac{1}{8-\frac{2}{3}\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{15}{14}&\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7}\left(-5\right)-\frac{1}{7}\left(-45\right)\\-\frac{15}{14}\left(-5\right)+\frac{3}{14}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{7}\\-\frac{30}{7}\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=-\frac{15}{7},x=-\frac{30}{7}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Murriztu \frac{4}{6} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$y=-\frac{2}{3}x-5$$

Gehitu \frac{2}{3}x bi aldeetan.

$$y+\frac{2}{3}x=-5$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y+\frac{2}{3}x=-5,5y+8x=-45$$

y eta 5y berdintzeko, biderkatu 5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5y+5\times \frac{2}{3}x=5\left(-5\right),5y+8x=-45$$

Sinplifikatu.

$$5y+\frac{10}{3}x=-25,5y+8x=-45$$

Egin 5y+8x=-45 ken 5y+\frac{10}{3}x=-25 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$5y-5y+\frac{10}{3}x-8x=-25+45$$

Gehitu 5y eta -5y. Sinplifikatu egiten dira 5y eta -5y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$\frac{10}{3}x-8x=-25+45$$

Gehitu \frac{10x}{3} eta -8x.

$$-\frac{14}{3}x=-25+45$$

Gehitu -25 eta 45.

$$-\frac{14}{3}x=20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{14}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=-\frac{30}{7}$$

Ordeztu -\frac{30}{7} x balioarekin 5y+8x=-45 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$5y+8\left(-\frac{30}{7}\right)=-45$$

Egin 8 bider -\frac{30}{7}.

$$5y-\frac{240}{7}=-45$$

Gehitu \frac{240}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$5y=-\frac{75}{7}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$y=-\frac{15}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-\frac{15}{7},x=-\frac{30}{7}$$