Resolver {l}{y=9/4x+53/6}{y=8/5x+20/3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = \frac { 9 } { 4 } x + \frac { 53 } { 6 } } \\ { y = \frac { 8 } { 5 } x + \frac { 20 } { 3 } } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x = -\frac{10}{3} = -3\frac{1}{3} \approx -3.333333333$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{9}{4}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{9}{4}x=\frac{53}{6}$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{8}{5}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{8}{5}x=\frac{20}{3}$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y-\frac{9}{4}x=\frac{53}{6},y-\frac{8}{5}x=\frac{20}{3}$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y-\frac{9}{4}x=\frac{53}{6}$$

Gehitu \frac{9x}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=\frac{9}{4}x+\frac{53}{6}$$

Ordeztu \frac{9x}{4}+\frac{53}{6} balioa y balioarekin beste ekuazioan (y-\frac{8}{5}x=\frac{20}{3}).

$$\frac{9}{4}x+\frac{53}{6}-\frac{8}{5}x=\frac{20}{3}$$

Gehitu \frac{9x}{4} eta -\frac{8x}{5}.

$$\frac{13}{20}x+\frac{53}{6}=\frac{20}{3}$$

Egin ken \frac{53}{6} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{13}{20}x=-\frac{13}{6}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{13}{20} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=-\frac{10}{3}$$

Ordeztu -\frac{10}{3} x balioarekin y=\frac{9}{4}x+\frac{53}{6} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=\frac{9}{4}\left(-\frac{10}{3}\right)+\frac{53}{6}$$

Egin \frac{9}{4} bider -\frac{10}{3}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y=-\frac{15}{2}+\frac{53}{6}$$

Gehitu \frac{53}{6} eta -\frac{15}{2} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y=\frac{4}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=\frac{4}{3},x=-\frac{10}{3}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{9}{4}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{9}{4}x=\frac{53}{6}$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{8}{5}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{8}{5}x=\frac{20}{3}$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y-\frac{9}{4}x=\frac{53}{6},y-\frac{8}{5}x=\frac{20}{3}$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{9}{4}\\1&-\frac{8}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{53}{6}\\\frac{20}{3}\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-\frac{9}{4}\\1&-\frac{8}{5}\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{9}{4}\\1&-\frac{8}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{9}{4}\\1&-\frac{8}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{9}{4}\\1&-\frac{8}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{53}{6}\\\frac{20}{3}\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{9}{4}\\1&-\frac{8}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{53}{6}\\\frac{20}{3}\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{9}{4}\\1&-\frac{8}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{53}{6}\\\frac{20}{3}\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{8}{5}}{-\frac{8}{5}-\left(-\frac{9}{4}\right)}&-\frac{-\frac{9}{4}}{-\frac{8}{5}-\left(-\frac{9}{4}\right)}\\-\frac{1}{-\frac{8}{5}-\left(-\frac{9}{4}\right)}&\frac{1}{-\frac{8}{5}-\left(-\frac{9}{4}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{53}{6}\\\frac{20}{3}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{32}{13}&\frac{45}{13}\\-\frac{20}{13}&\frac{20}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{53}{6}\\\frac{20}{3}\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{32}{13}\times \frac{53}{6}+\frac{45}{13}\times \frac{20}{3}\\-\frac{20}{13}\times \frac{53}{6}+\frac{20}{13}\times \frac{20}{3}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\-\frac{10}{3}\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=\frac{4}{3},x=-\frac{10}{3}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{9}{4}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{9}{4}x=\frac{53}{6}$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{8}{5}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{8}{5}x=\frac{20}{3}$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y-\frac{9}{4}x=\frac{53}{6},y-\frac{8}{5}x=\frac{20}{3}$$

Egin y-\frac{8}{5}x=\frac{20}{3} ken y-\frac{9}{4}x=\frac{53}{6} berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$y-y-\frac{9}{4}x+\frac{8}{5}x=\frac{53}{6}-\frac{20}{3}$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-\frac{9}{4}x+\frac{8}{5}x=\frac{53}{6}-\frac{20}{3}$$

Gehitu -\frac{9x}{4} eta \frac{8x}{5}.

$$-\frac{13}{20}x=\frac{53}{6}-\frac{20}{3}$$

Gehitu \frac{53}{6} eta -\frac{20}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$-\frac{13}{20}x=\frac{13}{6}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{13}{20} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=-\frac{10}{3}$$

Ordeztu -\frac{10}{3} x balioarekin y-\frac{8}{5}x=\frac{20}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y-\frac{8}{5}\left(-\frac{10}{3}\right)=\frac{20}{3}$$

Egin -\frac{8}{5} bider -\frac{10}{3}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y+\frac{16}{3}=\frac{20}{3}$$

Egin ken \frac{16}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=\frac{4}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=\frac{4}{3},x=-\frac{10}{3}$$