Resolver {l}{y+b=2x}{5x=2-4y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y + b = 2 x } \\ { 5 x = 2 - 4 y } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{4b+2}{13}$$

$$y=\frac{4-5b}{13}$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$y+b-2x=0$$

Kendu b bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$y-2x=-b$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 4y bi aldeetan.

$$5x+4y=2$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y-2x=-b,4y+5x=2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y-2x=-b$$

Gehitu 2x ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=2x-b$$

Ordeztu 2x-b balioa y balioarekin beste ekuazioan (4y+5x=2).

$$4\left(2x-b\right)+5x=2$$

Egin 4 bider 2x-b.

$$8x-4b+5x=2$$

Gehitu 8x eta 5x.

$$13x-4b=2$$

Gehitu 4b ekuazioaren bi aldeetan.

$$13x=4b+2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 13 balioarekin.

$$x=\frac{4b+2}{13}$$

Ordeztu \frac{2+4b}{13} x balioarekin y=2x-b ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=2\times \frac{4b+2}{13}-b$$

Egin 2 bider \frac{2+4b}{13}.

$$y=\frac{8b+4}{13}-b$$

Gehitu -b eta \frac{4+8b}{13}.

$$y=\frac{4-5b}{13}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=\frac{4-5b}{13},x=\frac{4b+2}{13}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$y+b-2x=0$$

Kendu b bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$y-2x=-b$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 4y bi aldeetan.

$$5x+4y=2$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y-2x=-b,4y+5x=2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-b\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-2\\4&5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-b\\2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-b\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-b\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-2\times 4\right)}&-\frac{-2}{5-\left(-2\times 4\right)}\\-\frac{4}{5-\left(-2\times 4\right)}&\frac{1}{5-\left(-2\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-b\\2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}&\frac{2}{13}\\-\frac{4}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-b\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}\left(-b\right)+\frac{2}{13}\times 2\\-\frac{4}{13}\left(-b\right)+\frac{1}{13}\times 2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4-5b}{13}\\\frac{4b+2}{13}\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=\frac{4-5b}{13},x=\frac{4b+2}{13}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$y+b-2x=0$$

Kendu b bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$y-2x=-b$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 4y bi aldeetan.

$$5x+4y=2$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y-2x=-b,4y+5x=2$$

y eta 4y berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4y+4\left(-2\right)x=4\left(-b\right),4y+5x=2$$

Sinplifikatu.

$$4y-8x=-4b,4y+5x=2$$

Egin 4y+5x=2 ken 4y-8x=-4b berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$4y-4y-8x-5x=-4b-2$$

Gehitu 4y eta -4y. Sinplifikatu egiten dira 4y eta -4y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-8x-5x=-4b-2$$

Gehitu -8x eta -5x.

$$-13x=-4b-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -13 balioarekin.

$$x=\frac{4b+2}{13}$$

Ordeztu \frac{2+4b}{13} x balioarekin 4y+5x=2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$4y+5\times \frac{4b+2}{13}=2$$

Egin 5 bider \frac{2+4b}{13}.

$$4y+\frac{20b+10}{13}=2$$

Egin ken \frac{10+20b}{13} ekuazioaren bi aldeetan.

$$4y=\frac{16-20b}{13}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$y=\frac{4-5b}{13}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=\frac{4-5b}{13},x=\frac{4b+2}{13}$$