Resolver {l}{y+25=3x}{x+75=3y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y + 25 = 3 x } \\ { x + 75 = 3 y } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x = \frac{75}{4} = 18\frac{3}{4} = 18.75$$

$$y = \frac{125}{4} = 31\frac{1}{4} = 31.25$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3x bi aldeetatik.

$$y+25-3x=0$$

Kendu 25 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$y-3x=-25$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3y bi aldeetatik.

$$x+75-3y=0$$

Kendu 75 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$x-3y=-75$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y-3x=-25,-3y+x=-75$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y-3x=-25$$

Gehitu 3x ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=3x-25$$

Ordeztu 3x-25 balioa y balioarekin beste ekuazioan (-3y+x=-75).

$$-3\left(3x-25\right)+x=-75$$

Egin -3 bider 3x-25.

$$-9x+75+x=-75$$

Gehitu -9x eta x.

$$-8x+75=-75$$

Egin ken 75 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-8x=-150$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -8 balioarekin.

$$x=\frac{75}{4}$$

Ordeztu \frac{75}{4} x balioarekin y=3x-25 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=3\times \frac{75}{4}-25$$

Egin 3 bider \frac{75}{4}.

$$y=\frac{225}{4}-25$$

Gehitu -25 eta \frac{225}{4}.

$$y=\frac{125}{4}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=\frac{125}{4},x=\frac{75}{4}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3x bi aldeetatik.

$$y+25-3x=0$$

Kendu 25 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$y-3x=-25$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3y bi aldeetatik.

$$x+75-3y=0$$

Kendu 75 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$x-3y=-75$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y-3x=-25,-3y+x=-75$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-25\\-75\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-3\\-3&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-25\\-75\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-25\\-75\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-25\\-75\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\left(-3\right)\right)}&-\frac{-3}{1-\left(-3\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{1-\left(-3\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-25\\-75\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}&-\frac{3}{8}\\-\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-25\\-75\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}\left(-25\right)-\frac{3}{8}\left(-75\right)\\-\frac{3}{8}\left(-25\right)-\frac{1}{8}\left(-75\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{125}{4}\\\frac{75}{4}\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=\frac{125}{4},x=\frac{75}{4}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3x bi aldeetatik.

$$y+25-3x=0$$

Kendu 25 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$y-3x=-25$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3y bi aldeetatik.

$$x+75-3y=0$$

Kendu 75 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$x-3y=-75$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y-3x=-25,-3y+x=-75$$

y eta -3y berdintzeko, biderkatu -3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-3y-3\left(-3\right)x=-3\left(-25\right),-3y+x=-75$$

Sinplifikatu.

$$-3y+9x=75,-3y+x=-75$$

Egin -3y+x=-75 ken -3y+9x=75 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-3y+3y+9x-x=75+75$$

Gehitu -3y eta 3y. Sinplifikatu egiten dira -3y eta 3y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$9x-x=75+75$$

Gehitu 9x eta -x.

$$8x=75+75$$

Gehitu 75 eta 75.

$$8x=150$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$x=\frac{75}{4}$$

Ordeztu \frac{75}{4} x balioarekin -3y+x=-75 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$-3y+\frac{75}{4}=-75$$

Egin ken \frac{75}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3y=-\frac{375}{4}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$y=\frac{125}{4}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=\frac{125}{4},x=\frac{75}{4}$$