Resolver {l}{x_{1}+x_{2}=97}{frac{x_{2}}{x_{1}}=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x _ { 1 } + x _ { 2 } = 97 } \\ { \frac { x _ { 2 } } { x _ { 1 } } = 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x_1, x_2

$$x_{1} = \frac{97}{3} = 32\frac{1}{3} \approx 32.333333333$$

$$x_{2} = \frac{194}{3} = 64\frac{2}{3} \approx 64.666666667$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. x_{1} aldagaia eta 0 ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: x_{1}.

$$x_{2}=2x_{1}$$

Kendu 2x_{1} bi aldeetatik.

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x_{1}. Horretarako, isolatu x_{1} berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x_{1}+x_{2}=97$$

Egin ken x_{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x_{1}=-x_{2}+97$$

Ordeztu -x_{2}+97 balioa x_{1} balioarekin beste ekuazioan (-2x_{1}+x_{2}=0).

$$-2\left(-x_{2}+97\right)+x_{2}=0$$

Egin -2 bider -x_{2}+97.

$$2x_{2}-194+x_{2}=0$$

Gehitu 2x_{2} eta x_{2}.

$$3x_{2}-194=0$$

Gehitu 194 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x_{2}=194$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x_{2}=\frac{194}{3}$$

Ordeztu \frac{194}{3} x_{2} balioarekin x_{1}=-x_{2}+97 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x_{1} ebatz dezakezu zuzenean.

$$x_{1}=-\frac{194}{3}+97$$

Gehitu 97 eta -\frac{194}{3}.

$$x_{1}=\frac{97}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. x_{1} aldagaia eta 0 ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: x_{1}.

$$x_{2}=2x_{1}$$

Kendu 2x_{1} bi aldeetatik.

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{1}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 97\\\frac{2}{3}\times 97\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{97}{3}\\\frac{194}{3}\end{matrix}\right)$$

Atera x_{1} eta x_{2} matrize-elementuak.

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. x_{1} aldagaia eta 0 ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: x_{1}.

$$x_{2}=2x_{1}$$

Kendu 2x_{1} bi aldeetatik.

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

Egin -2x_{1}+x_{2}=0 ken x_{1}+x_{2}=97 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$x_{1}+2x_{1}+x_{2}-x_{2}=97$$

Gehitu x_{2} eta -x_{2}. Sinplifikatu egiten dira x_{2} eta -x_{2}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$x_{1}+2x_{1}=97$$

Gehitu x_{1} eta 2x_{1}.

$$3x_{1}=97$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x_{1}=\frac{97}{3}$$

Ordeztu \frac{97}{3} x_{1} balioarekin -2x_{1}+x_{2}=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x_{2} ebatz dezakezu zuzenean.

$$-2\times \frac{97}{3}+x_{2}=0$$

Egin -2 bider \frac{97}{3}.

$$-\frac{194}{3}+x_{2}=0$$

Gehitu \frac{194}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x_{2}=\frac{194}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$