Resolver {l}{x-y=60}{2x=y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 60 } \\ { 2 x = y } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-60$$

$$y=-120$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$2x-y=0$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x-y=60,2x-y=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x-y=60$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=y+60$$

Ordeztu y+60 balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x-y=0).

$$2\left(y+60\right)-y=0$$

Egin 2 bider y+60.

$$2y+120-y=0$$

Gehitu 2y eta -y.

$$y+120=0$$

Egin ken 120 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-120$$

Ordeztu -120 y balioarekin x=y+60 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-120+60$$

Gehitu 60 eta -120.

$$x=-60$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-60,y=-120$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$2x-y=0$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x-y=60,2x-y=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-1\\2&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{-1-\left(-2\right)}&\frac{1}{-1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-60\\-2\times 60\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-60\\-120\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-60,y=-120$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$2x-y=0$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x-y=60,2x-y=0$$

Egin 2x-y=0 ken x-y=60 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$x-2x-y+y=60$$

Gehitu -y eta y. Sinplifikatu egiten dira -y eta y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$x-2x=60$$

Gehitu x eta -2x.

$$-x=60$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=-60$$

Ordeztu -60 x balioarekin 2x-y=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$2\left(-60\right)-y=0$$

Egin 2 bider -60.

$$-120-y=0$$

Gehitu 120 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-y=120$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$y=-120$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-60,y=-120$$