Resolver {l}{x-y=2x}{2x+y=16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 2 x } \\ { 2 x + y = 16 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=16$$

$$y=-16$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$x-y-2x=0$$

-x lortzeko, konbinatu x eta -2x.

$$-x-y=0$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-x-y=0,2x+y=16$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-x-y=0$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-x=y$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=-y$$

Ordeztu -y balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+y=16).

$$2\left(-1\right)y+y=16$$

Egin 2 bider -y.

$$-2y+y=16$$

Gehitu -2y eta y.

$$-y=16$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$y=-16$$

Ordeztu -16 y balioarekin x=-y ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\left(-16\right)$$

Egin -1 bider -16.

$$x=16$$

Ebatzi da sistema.

$$x=16,y=-16$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$x-y-2x=0$$

-x lortzeko, konbinatu x eta -2x.

$$-x-y=0$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-x-y=0,2x+y=16$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-1&-1\\2&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-1-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{-1-\left(-2\right)}&-\frac{1}{-1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\-16\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=16,y=-16$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$x-y-2x=0$$

-x lortzeko, konbinatu x eta -2x.

$$-x-y=0$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-x-y=0,2x+y=16$$

-x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\left(-1\right)x+2\left(-1\right)y=0,-2x-y=-16$$

Sinplifikatu.

$$-2x-2y=0,-2x-y=-16$$

Egin -2x-y=-16 ken -2x-2y=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-2x+2x-2y+y=16$$

Gehitu -2x eta 2x. Sinplifikatu egiten dira -2x eta 2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-2y+y=16$$

Gehitu -2y eta y.

$$-y=16$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$y=-16$$

Ordeztu -16 y balioarekin 2x+y=16 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x-16=16$$

Gehitu 16 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=32$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=16$$

Ebatzi da sistema.

$$x=16,y=-16$$