Resolver {l}{x-y=2}{4x=7y+5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 2 } \\ { 4 x = 7 y + 5 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 7y bi aldeetatik.

$$4x-7y=5$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x-y=2,4x-7y=5$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x-y=2$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=y+2$$

Ordeztu y+2 balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x-7y=5).

$$4\left(y+2\right)-7y=5$$

Egin 4 bider y+2.

$$4y+8-7y=5$$

Gehitu 4y eta -7y.

$$-3y+8=5$$

Egin ken 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3y=-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin x=y+2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=1+2$$

Gehitu 2 eta 1.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 7y bi aldeetatik.

$$4x-7y=5$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x-y=2,4x-7y=5$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-1\\4&-7\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-7-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{-7-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{-7-\left(-4\right)}&\frac{1}{-7-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}\times 2-\frac{1}{3}\times 5\\\frac{4}{3}\times 2-\frac{1}{3}\times 5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=3,y=1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 7y bi aldeetatik.

$$4x-7y=5$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x-y=2,4x-7y=5$$

x eta 4x berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4x+4\left(-1\right)y=4\times 2,4x-7y=5$$

Sinplifikatu.

$$4x-4y=8,4x-7y=5$$

Egin 4x-7y=5 ken 4x-4y=8 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$4x-4x-4y+7y=8-5$$

Gehitu 4x eta -4x. Sinplifikatu egiten dira 4x eta -4x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-4y+7y=8-5$$

Gehitu -4y eta 7y.

$$3y=8-5$$

Gehitu 8 eta -5.

$$3y=3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin 4x-7y=5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$4x-7=5$$

Gehitu 7 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=1$$