Resolver {l}{x-y=12}{x+y=44}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 12 } \\ { x + y = 44 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=28$$

$$y=16$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x-y=12,x+y=44$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x-y=12$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=y+12$$

Ordeztu y+12 balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+y=44).

$$y+12+y=44$$

Gehitu y eta y.

$$2y+12=44$$

Egin ken 12 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y=32$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=16$$

Ordeztu 16 y balioarekin x=y+12 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=16+12$$

Gehitu 12 eta 16.

$$x=28$$

Ebatzi da sistema.

$$x=28,y=16$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x-y=12,x+y=44$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\44\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\44\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\44\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\44\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\44\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\44\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 12+\frac{1}{2}\times 44\\-\frac{1}{2}\times 12+\frac{1}{2}\times 44\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\16\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=28,y=16$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x-y=12,x+y=44$$

Egin x+y=44 ken x-y=12 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$x-x-y-y=12-44$$

Gehitu x eta -x. Sinplifikatu egiten dira x eta -x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-y-y=12-44$$

Gehitu -y eta -y.

$$-2y=12-44$$

Gehitu 12 eta -44.

$$-2y=-32$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$y=16$$

Ordeztu 16 y balioarekin x+y=44 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x+16=44$$

Egin ken 16 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=28$$

Ebatzi da sistema.

$$x=28,y=16$$