Resolver {l}{x-y=10}{2x+2,5y=200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 10 } \\ { 2 x + 2,5 y = 200 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=50$$

$$y=40$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x-y=10;2x+2,5y=200$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x-y=10$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=y+10$$

Ordeztu y+10 balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+2,5y=200).

$$2\left(y+10\right)+2,5y=200$$

Egin 2 bider y+10.

$$2y+20+2,5y=200$$

Gehitu 2y eta \frac{5y}{2}.

$$4,5y+20=200$$

Egin ken 20 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4,5y=180$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4,5 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=40$$

Ordeztu 40 y balioarekin x=y+10 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=40+10$$

Gehitu 10 eta 40.

$$x=50$$

Ebatzi da sistema.

$$x=50;y=40$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x-y=10;2x+2,5y=200$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2,5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\200\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-1\\2&2,5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2,5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2,5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2,5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\200\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2,5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\200\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2,5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\200\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2,5}{2,5-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{2,5-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{2,5-\left(-2\right)}&\frac{1}{2,5-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\200\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}&\frac{2}{9}\\-\frac{4}{9}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\200\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}\times 10+\frac{2}{9}\times 200\\-\frac{4}{9}\times 10+\frac{2}{9}\times 200\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\40\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=50;y=40$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x-y=10;2x+2,5y=200$$

x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2x+2\left(-1\right)y=2\times 10;2x+2,5y=200$$

Sinplifikatu.

$$2x-2y=20;2x+2,5y=200$$

Egin 2x+2,5y=200 ken 2x-2y=20 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2x-2x-2y-2,5y=20-200$$

Gehitu 2x eta -2x. Sinplifikatu egiten dira 2x eta -2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-2y-2,5y=20-200$$

Gehitu -2y eta -\frac{5y}{2}.

$$-4,5y=20-200$$

Gehitu 20 eta -200.

$$-4,5y=-180$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4,5 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=40$$

Ordeztu 40 y balioarekin 2x+2,5y=200 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x+2,5\times 40=200$$

Egin 2,5 bider 40.

$$2x+100=200$$

Egin ken 100 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=100$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=50$$

Ebatzi da sistema.

$$x=50;y=40$$