Resolver {l}{x-y=10}{2x+(2y+1/2)=200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 10 } \\ { 2 x + ( 2 y + \frac { 1 } { 2 } ) = 200 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{439}{8} = 54\frac{7}{8} = 54.875$$

$$y = \frac{359}{8} = 44\frac{7}{8} = 44.875$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x-y=10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x-y=10$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=y+10$$

Ordeztu y+10 balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+2y+\frac{1}{2}=200).

$$2\left(y+10\right)+2y+\frac{1}{2}=200$$

Egin 2 bider y+10.

$$2y+20+2y+\frac{1}{2}=200$$

Gehitu 2y eta 2y.

$$4y+20+\frac{1}{2}=200$$

Gehitu 20 eta \frac{1}{2}.

$$4y+\frac{41}{2}=200$$

Egin ken \frac{41}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$4y=\frac{359}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$y=\frac{359}{8}$$

Ordeztu \frac{359}{8} y balioarekin x=y+10 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{359}{8}+10$$

Gehitu 10 eta \frac{359}{8}.

$$x=\frac{439}{8}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{439}{8},y=\frac{359}{8}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x-y=10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{2-\left(-2\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 10+\frac{1}{4}\times \frac{399}{2}\\-\frac{1}{2}\times 10+\frac{1}{4}\times \frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{439}{8}\\\frac{359}{8}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{439}{8},y=\frac{359}{8}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x-y=10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2x+2\left(-1\right)y=2\times 10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

Sinplifikatu.

$$2x-2y=20,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

Egin 2x+2y+\frac{1}{2}=200 ken 2x-2y=20 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2x-2x-2y-2y-\frac{1}{2}=20-200$$

Gehitu 2x eta -2x. Sinplifikatu egiten dira 2x eta -2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-2y-2y-\frac{1}{2}=20-200$$

Gehitu -2y eta -2y.

$$-4y-\frac{1}{2}=20-200$$

Gehitu 20 eta -200.

$$-4y-\frac{1}{2}=-180$$

Gehitu \frac{1}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-4y=-\frac{359}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$y=\frac{359}{8}$$

Ordeztu \frac{359}{8} y balioarekin 2x+2y+\frac{1}{2}=200 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x+2\times \frac{359}{8}+\frac{1}{2}=200$$

Egin 2 bider \frac{359}{8}.

$$2x+\frac{359}{4}+\frac{1}{2}=200$$

Gehitu \frac{359}{4} eta \frac{1}{2} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$2x+\frac{361}{4}=200$$

Egin ken \frac{361}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=\frac{439}{4}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{439}{8}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{439}{8},y=\frac{359}{8}$$