Resolver {l}{x-y=-5}{3x+2y=10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = - 5 } \\ { 3 x + 2 y = 10 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=0$$

$$y=5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x-y=-5,3x+2y=10$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x-y=-5$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=y-5$$

Ordeztu y-5 balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x+2y=10).

$$3\left(y-5\right)+2y=10$$

Egin 3 bider y-5.

$$3y-15+2y=10$$

Gehitu 3y eta 2y.

$$5y-15=10$$

Gehitu 15 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5y=25$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$y=5$$

Ordeztu 5 y balioarekin x=y-5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=5-5$$

Gehitu -5 eta 5.

$$x=0$$

Ebatzi da sistema.

$$x=0,y=5$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x-y=-5,3x+2y=10$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-1\\3&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\10\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{2-\left(-3\right)}&\frac{1}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-5\right)+\frac{1}{5}\times 10\\-\frac{3}{5}\left(-5\right)+\frac{1}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=0,y=5$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x-y=-5,3x+2y=10$$

x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3x+3\left(-1\right)y=3\left(-5\right),3x+2y=10$$

Sinplifikatu.

$$3x-3y=-15,3x+2y=10$$

Egin 3x+2y=10 ken 3x-3y=-15 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3x-3x-3y-2y=-15-10$$

Gehitu 3x eta -3x. Sinplifikatu egiten dira 3x eta -3x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-3y-2y=-15-10$$

Gehitu -3y eta -2y.

$$-5y=-15-10$$

Gehitu -15 eta -10.

$$-5y=-25$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$y=5$$

Ordeztu 5 y balioarekin 3x+2y=10 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x+2\times 5=10$$

Egin 2 bider 5.

$$3x+10=10$$

Egin ken 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=0$$

Ebatzi da sistema.

$$x=0,y=5$$