Resolver {l}{x-y=1/4}{3x^2-6=y^2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = \frac { 1 } { 4 } } \\ { 3 x ^ { 2 } - 6 = y ^ { 2 } } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{-\sqrt{195}-1}{8}\approx -1.870530005\text{, }y=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}\approx -2.120530005$$

$$x=\frac{\sqrt{195}-1}{8}\approx 1.620530005\text{, }y=\frac{\sqrt{195}-3}{8}\approx 1.370530005$$

Ordezkapenaren eta formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y^{2} bi aldeetatik.

$$3x^{2}-6-y^{2}=0$$

Gehitu 6 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$3x^{2}-y^{2}=6$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x-y=\frac{1}{4},-y^{2}+3x^{2}=6$$

Ebatzi x-y=\frac{1}{4} ekuazioko x. Horretarako, isolatu x berdin zeinuaren ezkerreko aldean.

$$x-y=\frac{1}{4}$$

Egin ken -y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=y+\frac{1}{4}$$

Ordeztu y+\frac{1}{4} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-y^{2}+3x^{2}=6).

$$-y^{2}+3\left(y+\frac{1}{4}\right)^{2}=6$$

Egin y+\frac{1}{4} ber bi.

$$-y^{2}+3\left(y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}\right)=6$$

Egin 3 bider y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}.

$$-y^{2}+3y^{2}+\frac{3}{2}y+\frac{3}{16}=6$$

Gehitu -y^{2} eta 3y^{2}.

$$2y^{2}+\frac{3}{2}y+\frac{3}{16}=6$$

Egin ken 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y^{2}+\frac{3}{2}y-\frac{93}{16}=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -1+3\times 1^{2} balioa a balioarekin, 3\times \frac{1}{4}\times 1\times 2 balioa b balioarekin, eta -\frac{93}{16} balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-4\times 2\left(-\frac{93}{16}\right)}}{2\times 2}$$

Egin 3\times \frac{1}{4}\times 1\times 2 ber bi.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9}{4}-4\times 2\left(-\frac{93}{16}\right)}}{2\times 2}$$

Egin -4 bider -1+3\times 1^{2}.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9}{4}-8\left(-\frac{93}{16}\right)}}{2\times 2}$$

Egin -8 bider -\frac{93}{16}.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{93}{2}}}{2\times 2}$$

Gehitu \frac{9}{4} eta \frac{93}{2} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{195}{4}}}{2\times 2}$$

Atera \frac{195}{4} balioaren erro karratua.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{2\times 2}$$

Egin 2 bider -1+3\times 1^{2}.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{4}$$

Orain, ebatzi y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -\frac{3}{2} eta \frac{\sqrt{195}}{2}.

$$y=\frac{\sqrt{195}-3}{2\times 4}$$

Zatitu \frac{-3+\sqrt{195}}{2} balioa 4 balioarekin.

$$y=\frac{\sqrt{195}-3}{8}$$

Orain, ebatzi y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{4} ekuazioa ± minus denean. Egin \frac{\sqrt{195}}{2} ken -\frac{3}{2}.

$$y=\frac{-\sqrt{195}-3}{2\times 4}$$

Zatitu \frac{-3-\sqrt{195}}{2} balioa 4 balioarekin.

$$y=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}$$

Bi ebazpide ditu y balioak: \frac{-3+\sqrt{195}}{8} eta \frac{-3-\sqrt{195}}{8}. Ordeztu \frac{-3+\sqrt{195}}{8} balioa y balioarekin x=y+\frac{1}{4} ekuazioan, bi ekuazioekin bat datorren x balioaren ebazpena aurkitzeko.

$$x=\frac{\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4}$$

Orain, ordeztu \frac{-3-\sqrt{195}}{8} balioa x=y+\frac{1}{4} ekuazioko y balioarekin eta ebatz ezazu, bi ekuazioekin bat datorren x balioaren ebazpena aurkitzeko.

$$x=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4},y=\frac{\sqrt{195}-3}{8}\text{ or }x=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4},y=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}$$