Resolver {l}{x-7y=6}{5x+3y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 7 y = 6 } \\ { 5 x + 3 y = 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{16}{19}\approx 0.842105263$$

$$y=-\frac{14}{19}\approx -0.736842105$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x-7y=6,5x+3y=2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x-7y=6$$

Gehitu 7y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=7y+6$$

Ordeztu 7y+6 balioa x balioarekin beste ekuazioan (5x+3y=2).

$$5\left(7y+6\right)+3y=2$$

Egin 5 bider 7y+6.

$$35y+30+3y=2$$

Gehitu 35y eta 3y.

$$38y+30=2$$

Egin ken 30 ekuazioaren bi aldeetan.

$$38y=-28$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 38 balioarekin.

$$y=-\frac{14}{19}$$

Ordeztu -\frac{14}{19} y balioarekin x=7y+6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=7\left(-\frac{14}{19}\right)+6$$

Egin 7 bider -\frac{14}{19}.

$$x=-\frac{98}{19}+6$$

Gehitu 6 eta -\frac{98}{19}.

$$x=\frac{16}{19}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{16}{19},y=-\frac{14}{19}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x-7y=6,5x+3y=2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-7\times 5\right)}&-\frac{-7}{3-\left(-7\times 5\right)}\\-\frac{5}{3-\left(-7\times 5\right)}&\frac{1}{3-\left(-7\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}&\frac{7}{38}\\-\frac{5}{38}&\frac{1}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}\times 6+\frac{7}{38}\times 2\\-\frac{5}{38}\times 6+\frac{1}{38}\times 2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{19}\\-\frac{14}{19}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{16}{19},y=-\frac{14}{19}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x-7y=6,5x+3y=2$$

x eta 5x berdintzeko, biderkatu 5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5x+5\left(-7\right)y=5\times 6,5x+3y=2$$

Sinplifikatu.

$$5x-35y=30,5x+3y=2$$

Egin 5x+3y=2 ken 5x-35y=30 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$5x-5x-35y-3y=30-2$$

Gehitu 5x eta -5x. Sinplifikatu egiten dira 5x eta -5x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-35y-3y=30-2$$

Gehitu -35y eta -3y.

$$-38y=30-2$$

Gehitu 30 eta -2.

$$-38y=28$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -38 balioarekin.

$$y=-\frac{14}{19}$$

Ordeztu -\frac{14}{19} y balioarekin 5x+3y=2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$5x+3\left(-\frac{14}{19}\right)=2$$

Egin 3 bider -\frac{14}{19}.

$$5x-\frac{42}{19}=2$$

Gehitu \frac{42}{19} ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=\frac{80}{19}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{16}{19}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{16}{19},y=-\frac{14}{19}$$