Resolver {l}{x-4y=5}{-2x-y=-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 4 y = 5 } \\ { - 2 x - y = - 4 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

$$y=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x-4y=5,-2x-y=-4$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x-4y=5$$

Gehitu 4y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=4y+5$$

Ordeztu 4y+5 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-2x-y=-4).

$$-2\left(4y+5\right)-y=-4$$

Egin -2 bider 4y+5.

$$-8y-10-y=-4$$

Gehitu -8y eta -y.

$$-9y-10=-4$$

Gehitu 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-9y=6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -9 balioarekin.

$$y=-\frac{2}{3}$$

Ordeztu -\frac{2}{3} y balioarekin x=4y+5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=4\left(-\frac{2}{3}\right)+5$$

Egin 4 bider -\frac{2}{3}.

$$x=-\frac{8}{3}+5$$

Gehitu 5 eta -\frac{8}{3}.

$$x=\frac{7}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{7}{3},y=-\frac{2}{3}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x-4y=5,-2x-y=-4$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-4\left(-2\right)\right)}&-\frac{-4}{-1-\left(-4\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-1-\left(-4\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{-1-\left(-4\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{4}{9}\\-\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 5-\frac{4}{9}\left(-4\right)\\-\frac{2}{9}\times 5-\frac{1}{9}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}\\-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{7}{3},y=-\frac{2}{3}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x-4y=5,-2x-y=-4$$

x eta -2x berdintzeko, biderkatu -2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-2x-2\left(-4\right)y=-2\times 5,-2x-y=-4$$

Sinplifikatu.

$$-2x+8y=-10,-2x-y=-4$$

Egin -2x-y=-4 ken -2x+8y=-10 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-2x+2x+8y+y=-10+4$$

Gehitu -2x eta 2x. Sinplifikatu egiten dira -2x eta 2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$8y+y=-10+4$$

Gehitu 8y eta y.

$$9y=-10+4$$

Gehitu -10 eta 4.

$$9y=-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$y=-\frac{2}{3}$$

Ordeztu -\frac{2}{3} y balioarekin -2x-y=-4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-2x-\left(-\frac{2}{3}\right)=-4$$

Egin ken \frac{2}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2x=-\frac{14}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$x=\frac{7}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{7}{3},y=-\frac{2}{3}$$