Resolver {l}{x-3y=4}{5x+3y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 3 y = 4 } \\ { 5 x + 3 y = - 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y = -\frac{7}{6} = -1\frac{1}{6} \approx -1.166666667$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x-3y=4,5x+3y=-1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x-3y=4$$

Gehitu 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=3y+4$$

Ordeztu 3y+4 balioa x balioarekin beste ekuazioan (5x+3y=-1).

$$5\left(3y+4\right)+3y=-1$$

Egin 5 bider 3y+4.

$$15y+20+3y=-1$$

Gehitu 15y eta 3y.

$$18y+20=-1$$

Egin ken 20 ekuazioaren bi aldeetan.

$$18y=-21$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 18 balioarekin.

$$y=-\frac{7}{6}$$

Ordeztu -\frac{7}{6} y balioarekin x=3y+4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=3\left(-\frac{7}{6}\right)+4$$

Egin 3 bider -\frac{7}{6}.

$$x=-\frac{7}{2}+4$$

Gehitu 4 eta -\frac{7}{2}.

$$x=\frac{1}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{1}{2},y=-\frac{7}{6}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x-3y=4,5x+3y=-1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{3-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{3-\left(-3\times 5\right)}&\frac{1}{3-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\-\frac{5}{18}&\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 4+\frac{1}{6}\left(-1\right)\\-\frac{5}{18}\times 4+\frac{1}{18}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-\frac{7}{6}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{1}{2},y=-\frac{7}{6}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x-3y=4,5x+3y=-1$$

x eta 5x berdintzeko, biderkatu 5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5x+5\left(-3\right)y=5\times 4,5x+3y=-1$$

Sinplifikatu.

$$5x-15y=20,5x+3y=-1$$

Egin 5x+3y=-1 ken 5x-15y=20 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$5x-5x-15y-3y=20+1$$

Gehitu 5x eta -5x. Sinplifikatu egiten dira 5x eta -5x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-15y-3y=20+1$$

Gehitu -15y eta -3y.

$$-18y=20+1$$

Gehitu 20 eta 1.

$$-18y=21$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -18 balioarekin.

$$y=-\frac{7}{6}$$

Ordeztu -\frac{7}{6} y balioarekin 5x+3y=-1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$5x+3\left(-\frac{7}{6}\right)=-1$$

Egin 3 bider -\frac{7}{6}.

$$5x-\frac{7}{2}=-1$$

Gehitu \frac{7}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=\frac{5}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{1}{2},y=-\frac{7}{6}$$