Resolver {l}{x-3=y}{x/4-1=y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 3 = y } \\ { \frac { x } { 4 } - 1 = y } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$x-3-y=0$$

Gehitu 3 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$x-y=3$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$\frac{x}{4}-1-y=0$$

Gehitu 1 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$\frac{x}{4}-y=1$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 4.

$$x-4y=4$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x-y=3,x-4y=4$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x-y=3$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=y+3$$

Ordeztu y+3 balioa x balioarekin beste ekuazioan (x-4y=4).

$$y+3-4y=4$$

Gehitu y eta -4y.

$$-3y+3=4$$

Egin ken 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3y=1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Ordeztu -\frac{1}{3} y balioarekin x=y+3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{3}+3$$

Gehitu 3 eta -\frac{1}{3}.

$$x=\frac{8}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{8}{3},y=-\frac{1}{3}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$x-3-y=0$$

Gehitu 3 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$x-y=3$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$\frac{x}{4}-1-y=0$$

Gehitu 1 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$\frac{x}{4}-y=1$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 4.

$$x-4y=4$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x-y=3,x-4y=4$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-4-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-4-\left(-1\right)}&\frac{1}{-4-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\times 3-\frac{1}{3}\times 4\\\frac{1}{3}\times 3-\frac{1}{3}\times 4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{8}{3},y=-\frac{1}{3}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$x-3-y=0$$

Gehitu 3 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$x-y=3$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$\frac{x}{4}-1-y=0$$

Gehitu 1 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$\frac{x}{4}-y=1$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 4.

$$x-4y=4$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x-y=3,x-4y=4$$

Egin x-4y=4 ken x-y=3 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$x-x-y+4y=3-4$$

Gehitu x eta -x. Sinplifikatu egiten dira x eta -x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-y+4y=3-4$$

Gehitu -y eta 4y.

$$3y=3-4$$

Gehitu 3 eta -4.

$$3y=-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Ordeztu -\frac{1}{3} y balioarekin x-4y=4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x-4\left(-\frac{1}{3}\right)=4$$

Egin -4 bider -\frac{1}{3}.

$$x+\frac{4}{3}=4$$

Egin ken \frac{4}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{8}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{8}{3},y=-\frac{1}{3}$$