Resolver {l}{x-2y=17}{7x-6y=47}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 2 y = 17 } \\ { 7 x - 6 y = 47 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-1$$

$$y=-9$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x-2y=17,7x-6y=47$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x-2y=17$$

Gehitu 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=2y+17$$

Ordeztu 2y+17 balioa x balioarekin beste ekuazioan (7x-6y=47).

$$7\left(2y+17\right)-6y=47$$

Egin 7 bider 2y+17.

$$14y+119-6y=47$$

Gehitu 14y eta -6y.

$$8y+119=47$$

Egin ken 119 ekuazioaren bi aldeetan.

$$8y=-72$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$y=-9$$

Ordeztu -9 y balioarekin x=2y+17 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=2\left(-9\right)+17$$

Egin 2 bider -9.

$$x=-18+17$$

Gehitu 17 eta -18.

$$x=-1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-1,y=-9$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x-2y=17,7x-6y=47$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\7&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\47\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-2\\7&-6\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\7&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\47\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\47\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\47\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-6-\left(-2\times 7\right)}&-\frac{-2}{-6-\left(-2\times 7\right)}\\-\frac{7}{-6-\left(-2\times 7\right)}&\frac{1}{-6-\left(-2\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\47\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{7}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\47\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}\times 17+\frac{1}{4}\times 47\\-\frac{7}{8}\times 17+\frac{1}{8}\times 47\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-9\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-1,y=-9$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x-2y=17,7x-6y=47$$

x eta 7x berdintzeko, biderkatu 7 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$7x+7\left(-2\right)y=7\times 17,7x-6y=47$$

Sinplifikatu.

$$7x-14y=119,7x-6y=47$$

Egin 7x-6y=47 ken 7x-14y=119 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$7x-7x-14y+6y=119-47$$

Gehitu 7x eta -7x. Sinplifikatu egiten dira 7x eta -7x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-14y+6y=119-47$$

Gehitu -14y eta 6y.

$$-8y=119-47$$

Gehitu 119 eta -47.

$$-8y=72$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -8 balioarekin.

$$y=-9$$

Ordeztu -9 y balioarekin 7x-6y=47 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$7x-6\left(-9\right)=47$$

Egin -6 bider -9.

$$7x+54=47$$

Egin ken 54 ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x=-7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$x=-1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-1,y=-9$$