Resolver {l}{x-2y=10}{2x+3y=-8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 2 y = 10 } \\ { 2 x + 3 y = - 8 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=2$$

$$y=-4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x-2y=10,2x+3y=-8$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x-2y=10$$

Gehitu 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=2y+10$$

Ordeztu 10+2y balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+3y=-8).

$$2\left(2y+10\right)+3y=-8$$

Egin 2 bider 10+2y.

$$4y+20+3y=-8$$

Gehitu 4y eta 3y.

$$7y+20=-8$$

Egin ken 20 ekuazioaren bi aldeetan.

$$7y=-28$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$y=-4$$

Ordeztu -4 y balioarekin x=2y+10 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=2\left(-4\right)+10$$

Egin 2 bider -4.

$$x=-8+10$$

Gehitu 10 eta -8.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=-4$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x-2y=10,2x+3y=-8$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-8\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{3-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 10+\frac{2}{7}\left(-8\right)\\-\frac{2}{7}\times 10+\frac{1}{7}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=2,y=-4$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x-2y=10,2x+3y=-8$$

x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2x+2\left(-2\right)y=2\times 10,2x+3y=-8$$

Sinplifikatu.

$$2x-4y=20,2x+3y=-8$$

Egin 2x+3y=-8 ken 2x-4y=20 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2x-2x-4y-3y=20+8$$

Gehitu 2x eta -2x. Sinplifikatu egiten dira 2x eta -2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-4y-3y=20+8$$

Gehitu -4y eta -3y.

$$-7y=20+8$$

Gehitu 20 eta 8.

$$-7y=28$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$y=-4$$

Ordeztu -4 y balioarekin 2x+3y=-8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x+3\left(-4\right)=-8$$

Egin 3 bider -4.

$$2x-12=-8$$

Gehitu 12 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=-4$$