Resolver {l}{x-2(3y-1)=-4}{2/3y-(-x-7)=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 2 ( 3 y - 1 ) = - 4 } \\ { \frac { 2 } { 3 } y - ( - x - 7 ) = 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-6$$

$$y=0$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x-2\left(3y-1\right)=-4,-\left(-x-7\right)+\frac{2}{3}y=1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x-2\left(3y-1\right)=-4$$

Egin -2 bider 3y-1.

$$x-6y+2=-4$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x-6y=-6$$

Gehitu 6y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=6y-6$$

Ordeztu -6+6y balioa x balioarekin beste ekuazioan (-\left(-x-7\right)+\frac{2}{3}y=1).

$$-\left(-\left(6y-6\right)-7\right)+\frac{2}{3}y=1$$

Egin -1 bider -6+6y.

$$-\left(-6y+6-7\right)+\frac{2}{3}y=1$$

Gehitu 6 eta -7.

$$-\left(-6y-1\right)+\frac{2}{3}y=1$$

Egin -1 bider -6y-1.

$$6y+1+\frac{2}{3}y=1$$

Gehitu 6y eta \frac{2y}{3}.

$$\frac{20}{3}y+1=1$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{20}{3}y=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{20}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=0$$

Ordeztu 0 y balioarekin x=6y-6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-6$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-6,y=0$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x-2\left(3y-1\right)=-4,-\left(-x-7\right)+\frac{2}{3}y=1$$

Sinplifikatu lehenengo ekuazioa forma estandarrean jartzeko.

$$x-2\left(3y-1\right)=-4$$

Egin -2 bider 3y-1.

$$x-6y+2=-4$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x-6y=-6$$

Sinplifikatu bigarren ekuazioa forma estandarrean jartzeko.

$$-\left(-x-7\right)+\frac{2}{3}y=1$$

Egin -1 bider -x-7.

$$x+7+\frac{2}{3}y=1$$

Egin ken 7 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x+\frac{2}{3}y=-6$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-6\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-6\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-6\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-6\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}-\left(-6\right)}&-\frac{-6}{\frac{2}{3}-\left(-6\right)}\\-\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-6\right)}&\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{9}{10}\\-\frac{3}{20}&\frac{3}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\left(-6\right)+\frac{9}{10}\left(-6\right)\\-\frac{3}{20}\left(-6\right)+\frac{3}{20}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-6,y=0$$