Resolver {l}{x-1=-3/2(y+2)}{x+y-2=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 1 = - \frac { 3 } { 2 } ( y + 2 ) } \\ { x + y - 2 = 0 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=10$$

$$y=-8$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea -\frac{3}{2} eta y+2 biderkatzeko.

$$x-1=-\frac{3}{2}y-3$$

Gehitu \frac{3}{2}y bi aldeetan.

$$x-1+\frac{3}{2}y=-3$$

Gehitu 1 bi aldeetan.

$$x+\frac{3}{2}y=-3+1$$

-2 lortzeko, gehitu -3 eta 1.

$$x+\frac{3}{2}y=-2$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 2 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$x+y=2$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+\frac{3}{2}y=-2,x+y=2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+\frac{3}{2}y=-2$$

Egin ken \frac{3y}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-\frac{3}{2}y-2$$

Ordeztu -\frac{3y}{2}-2 balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+y=2).

$$-\frac{3}{2}y-2+y=2$$

Gehitu -\frac{3y}{2} eta y.

$$-\frac{1}{2}y-2=2$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{1}{2}y=4$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$y=-8$$

Ordeztu -8 y balioarekin x=-\frac{3}{2}y-2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-8\right)-2$$

Egin -\frac{3}{2} bider -8.

$$x=12-2$$

Gehitu -2 eta 12.

$$x=10$$

Ebatzi da sistema.

$$x=10,y=-8$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea -\frac{3}{2} eta y+2 biderkatzeko.

$$x-1=-\frac{3}{2}y-3$$

Gehitu \frac{3}{2}y bi aldeetan.

$$x-1+\frac{3}{2}y=-3$$

Gehitu 1 bi aldeetan.

$$x+\frac{3}{2}y=-3+1$$

-2 lortzeko, gehitu -3 eta 1.

$$x+\frac{3}{2}y=-2$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 2 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$x+y=2$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+\frac{3}{2}y=-2,x+y=2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\frac{3}{2}}&-\frac{\frac{3}{2}}{1-\frac{3}{2}}\\-\frac{1}{1-\frac{3}{2}}&\frac{1}{1-\frac{3}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&3\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\left(-2\right)+3\times 2\\2\left(-2\right)-2\times 2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-8\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=10,y=-8$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea -\frac{3}{2} eta y+2 biderkatzeko.

$$x-1=-\frac{3}{2}y-3$$

Gehitu \frac{3}{2}y bi aldeetan.

$$x-1+\frac{3}{2}y=-3$$

Gehitu 1 bi aldeetan.

$$x+\frac{3}{2}y=-3+1$$

-2 lortzeko, gehitu -3 eta 1.

$$x+\frac{3}{2}y=-2$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 2 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$x+y=2$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+\frac{3}{2}y=-2,x+y=2$$

Egin x+y=2 ken x+\frac{3}{2}y=-2 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$x-x+\frac{3}{2}y-y=-2-2$$

Gehitu x eta -x. Sinplifikatu egiten dira x eta -x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$\frac{3}{2}y-y=-2-2$$

Gehitu \frac{3y}{2} eta -y.

$$\frac{1}{2}y=-2-2$$

Gehitu -2 eta -2.

$$\frac{1}{2}y=-4$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=-8$$

Ordeztu -8 y balioarekin x+y=2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x-8=2$$

Gehitu 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=10$$

Ebatzi da sistema.

$$x=10,y=-8$$