Resolver {l}{x-y+3/2=3x+y+1}{5x+y/2=2x-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - \frac { y + 3 } { 2 } = 3 x + y + 1 } \\ { \frac { 5 x + y } { 2 } = 2 x - 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=1$$

$$y=-3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 2.

$$2x-\left(y+3\right)=6x+2y+2$$

y+3 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$2x-y-3=6x+2y+2$$

Kendu 6x bi aldeetatik.

$$2x-y-3-6x=2y+2$$

-4x lortzeko, konbinatu 2x eta -6x.

$$-4x-y-3=2y+2$$

Kendu 2y bi aldeetatik.

$$-4x-y-3-2y=2$$

-3y lortzeko, konbinatu -y eta -2y.

$$-4x-3y-3=2$$

Gehitu 3 bi aldeetan.

$$-4x-3y=2+3$$

5 lortzeko, gehitu 2 eta 3.

$$-4x-3y=5$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 2.

$$5x+y=4x-2$$

Kendu 4x bi aldeetatik.

$$5x+y-4x=-2$$

x lortzeko, konbinatu 5x eta -4x.

$$x+y=-2$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-4x-3y=5,x+y=-2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-4x-3y=5$$

Gehitu 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-4x=3y+5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{4}\left(3y+5\right)$$

Egin -\frac{1}{4} bider 3y+5.

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}$$

Ordeztu \frac{-3y-5}{4} balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+y=-2).

$$-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}+y=-2$$

Gehitu -\frac{3y}{4} eta y.

$$\frac{1}{4}y-\frac{5}{4}=-2$$

Gehitu \frac{5}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{1}{4}y=-\frac{3}{4}$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$y=-3$$

Ordeztu -3 y balioarekin x=-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-3\right)-\frac{5}{4}$$

Egin -\frac{3}{4} bider -3.

$$x=\frac{9-5}{4}$$

Gehitu -\frac{5}{4} eta \frac{9}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=-3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 2.

$$2x-\left(y+3\right)=6x+2y+2$$

y+3 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$2x-y-3=6x+2y+2$$

Kendu 6x bi aldeetatik.

$$2x-y-3-6x=2y+2$$

-4x lortzeko, konbinatu 2x eta -6x.

$$-4x-y-3=2y+2$$

Kendu 2y bi aldeetatik.

$$-4x-y-3-2y=2$$

-3y lortzeko, konbinatu -y eta -2y.

$$-4x-3y-3=2$$

Gehitu 3 bi aldeetan.

$$-4x-3y=2+3$$

5 lortzeko, gehitu 2 eta 3.

$$-4x-3y=5$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 2.

$$5x+y=4x-2$$

Kendu 4x bi aldeetatik.

$$5x+y-4x=-2$$

x lortzeko, konbinatu 5x eta -4x.

$$x+y=-2$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-4x-3y=5,x+y=-2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-4-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-4-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-4-\left(-3\right)}&-\frac{4}{-4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-3\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5-3\left(-2\right)\\5+4\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=1,y=-3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 2.

$$2x-\left(y+3\right)=6x+2y+2$$

y+3 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$2x-y-3=6x+2y+2$$

Kendu 6x bi aldeetatik.

$$2x-y-3-6x=2y+2$$

-4x lortzeko, konbinatu 2x eta -6x.

$$-4x-y-3=2y+2$$

Kendu 2y bi aldeetatik.

$$-4x-y-3-2y=2$$

-3y lortzeko, konbinatu -y eta -2y.

$$-4x-3y-3=2$$

Gehitu 3 bi aldeetan.

$$-4x-3y=2+3$$

5 lortzeko, gehitu 2 eta 3.

$$-4x-3y=5$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 2.

$$5x+y=4x-2$$

Kendu 4x bi aldeetatik.

$$5x+y-4x=-2$$

x lortzeko, konbinatu 5x eta -4x.

$$x+y=-2$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-4x-3y=5,x+y=-2$$

-4x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-4x-3y=5,-4x-4y=-4\left(-2\right)$$

Sinplifikatu.

$$-4x-3y=5,-4x-4y=8$$

Egin -4x-4y=8 ken -4x-3y=5 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-4x+4x-3y+4y=5-8$$

Gehitu -4x eta 4x. Sinplifikatu egiten dira -4x eta 4x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-3y+4y=5-8$$

Gehitu -3y eta 4y.

$$y=5-8$$

Gehitu 5 eta -8.

$$y=-3$$

Ordeztu -3 y balioarekin x+y=-2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x-3=-2$$

Gehitu 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=-3$$