Resolver {l}{x(1-2x)-y(1-y)=(y-sqrt{2}x)(y+sqrt{2}x)+3}{2x-(2y-1/4)^2+161/16=(2y+3)(3-2y)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x ( 1 - 2 x ) - y ( 1 - y ) = ( y - \sqrt { 2 } x ) ( y + \sqrt { 2 } x ) + 3 } \\ { 2 x - ( 2 y - \frac { 1 } { 4 } ) ^ { 2 } + 16 \frac { 1 } { 16 } = ( 2 y + 3 ) ( 3 - 2 y ) } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

$$y = -\frac{13}{3} = -4\frac{1}{3} \approx -4.333333333$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea x eta 1-2x biderkatzeko.

$$x-2x^{2}-y\left(1-y\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

Erabili banaketa-propietatea y eta 1-y biderkatzeko.

$$x-2x^{2}-\left(y-y^{2}\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

y-y^{2} funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

Kasurako: \left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right). Biderketa karratuen desberdintasun bihur daiteke arau hau erabilita: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}x\right)^{2}+3$$

Garatu \left(\sqrt{2}x\right)^{2}.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}+3$$

\sqrt{2} zenbakiaren karratua 2 da.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-2x^{2}+3$$

Kendu y^{2} bi aldeetatik.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}-y^{2}=-2x^{2}+3$$

0 lortzeko, konbinatu y^{2} eta -y^{2}.

$$x-2x^{2}-y=-2x^{2}+3$$

Gehitu 2x^{2} bi aldeetan.

$$x-2x^{2}-y+2x^{2}=3$$

0 lortzeko, konbinatu -2x^{2} eta 2x^{2}.

$$x-y=3$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 16.

$$16\left(2x-\left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

\left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$16\left(2x-\left(4y^{2}-y+\frac{1}{16}\right)\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

4y^{2}-y+\frac{1}{16} funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$16\left(2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 16 eta 2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16} biderkatzeko.

$$32x-64y^{2}+16y-1+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

256 lortzeko, biderkatu 16 eta 16.

$$32x-64y^{2}+16y-1+256+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

255 lortzeko, gehitu -1 eta 256.

$$32x-64y^{2}+16y+255+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

256 lortzeko, gehitu 255 eta 1.

$$32x-64y^{2}+16y+256=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 16 eta 2y+3 biderkatzeko.

$$32x-64y^{2}+16y+256=\left(32y+48\right)\left(3-2y\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 32y+48 eta 3-2y biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$32x-64y^{2}+16y+256=-64y^{2}+144$$

Gehitu 64y^{2} bi aldeetan.

$$32x-64y^{2}+16y+256+64y^{2}=144$$

0 lortzeko, konbinatu -64y^{2} eta 64y^{2}.

$$32x+16y+256=144$$

Kendu 256 bi aldeetatik.

$$32x+16y=144-256$$

-112 lortzeko, 144 balioari kendu 256.

$$32x+16y=-112$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x-y=3,32x+16y=-112$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x-y=3$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=y+3$$

Ordeztu y+3 balioa x balioarekin beste ekuazioan (32x+16y=-112).

$$32\left(y+3\right)+16y=-112$$

Egin 32 bider y+3.

$$32y+96+16y=-112$$

Gehitu 32y eta 16y.

$$48y+96=-112$$

Egin ken 96 ekuazioaren bi aldeetan.

$$48y=-208$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 48 balioarekin.

$$y=-\frac{13}{3}$$

Ordeztu -\frac{13}{3} y balioarekin x=y+3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{13}{3}+3$$

Gehitu 3 eta -\frac{13}{3}.

$$x=-\frac{4}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{4}{3},y=-\frac{13}{3}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea x eta 1-2x biderkatzeko.

$$x-2x^{2}-y\left(1-y\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

Erabili banaketa-propietatea y eta 1-y biderkatzeko.

$$x-2x^{2}-\left(y-y^{2}\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

y-y^{2} funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

Kasurako: \left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right). Biderketa karratuen desberdintasun bihur daiteke arau hau erabilita: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}x\right)^{2}+3$$

Garatu \left(\sqrt{2}x\right)^{2}.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}+3$$

\sqrt{2} zenbakiaren karratua 2 da.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-2x^{2}+3$$

Kendu y^{2} bi aldeetatik.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}-y^{2}=-2x^{2}+3$$

0 lortzeko, konbinatu y^{2} eta -y^{2}.

$$x-2x^{2}-y=-2x^{2}+3$$

Gehitu 2x^{2} bi aldeetan.

$$x-2x^{2}-y+2x^{2}=3$$

0 lortzeko, konbinatu -2x^{2} eta 2x^{2}.

$$x-y=3$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 16.

$$16\left(2x-\left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

\left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$16\left(2x-\left(4y^{2}-y+\frac{1}{16}\right)\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

4y^{2}-y+\frac{1}{16} funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$16\left(2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 16 eta 2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16} biderkatzeko.

$$32x-64y^{2}+16y-1+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

256 lortzeko, biderkatu 16 eta 16.

$$32x-64y^{2}+16y-1+256+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

255 lortzeko, gehitu -1 eta 256.

$$32x-64y^{2}+16y+255+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

256 lortzeko, gehitu 255 eta 1.

$$32x-64y^{2}+16y+256=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 16 eta 2y+3 biderkatzeko.

$$32x-64y^{2}+16y+256=\left(32y+48\right)\left(3-2y\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 32y+48 eta 3-2y biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$32x-64y^{2}+16y+256=-64y^{2}+144$$

Gehitu 64y^{2} bi aldeetan.

$$32x-64y^{2}+16y+256+64y^{2}=144$$

0 lortzeko, konbinatu -64y^{2} eta 64y^{2}.

$$32x+16y+256=144$$

Kendu 256 bi aldeetatik.

$$32x+16y=144-256$$

-112 lortzeko, 144 balioari kendu 256.

$$32x+16y=-112$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x-y=3,32x+16y=-112$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{16-\left(-32\right)}&-\frac{-1}{16-\left(-32\right)}\\-\frac{32}{16-\left(-32\right)}&\frac{1}{16-\left(-32\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{48}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{48}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 3+\frac{1}{48}\left(-112\right)\\-\frac{2}{3}\times 3+\frac{1}{48}\left(-112\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3}\\-\frac{13}{3}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{4}{3},y=-\frac{13}{3}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea x eta 1-2x biderkatzeko.

$$x-2x^{2}-y\left(1-y\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

Erabili banaketa-propietatea y eta 1-y biderkatzeko.

$$x-2x^{2}-\left(y-y^{2}\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

y-y^{2} funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

Kasurako: \left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right). Biderketa karratuen desberdintasun bihur daiteke arau hau erabilita: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}x\right)^{2}+3$$

Garatu \left(\sqrt{2}x\right)^{2}.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}+3$$

\sqrt{2} zenbakiaren karratua 2 da.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-2x^{2}+3$$

Kendu y^{2} bi aldeetatik.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}-y^{2}=-2x^{2}+3$$

0 lortzeko, konbinatu y^{2} eta -y^{2}.

$$x-2x^{2}-y=-2x^{2}+3$$

Gehitu 2x^{2} bi aldeetan.

$$x-2x^{2}-y+2x^{2}=3$$

0 lortzeko, konbinatu -2x^{2} eta 2x^{2}.

$$x-y=3$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 16.

$$16\left(2x-\left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

\left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$16\left(2x-\left(4y^{2}-y+\frac{1}{16}\right)\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

4y^{2}-y+\frac{1}{16} funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$16\left(2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 16 eta 2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16} biderkatzeko.

$$32x-64y^{2}+16y-1+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

256 lortzeko, biderkatu 16 eta 16.

$$32x-64y^{2}+16y-1+256+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

255 lortzeko, gehitu -1 eta 256.

$$32x-64y^{2}+16y+255+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

256 lortzeko, gehitu 255 eta 1.

$$32x-64y^{2}+16y+256=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 16 eta 2y+3 biderkatzeko.

$$32x-64y^{2}+16y+256=\left(32y+48\right)\left(3-2y\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 32y+48 eta 3-2y biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$32x-64y^{2}+16y+256=-64y^{2}+144$$

Gehitu 64y^{2} bi aldeetan.

$$32x-64y^{2}+16y+256+64y^{2}=144$$

0 lortzeko, konbinatu -64y^{2} eta 64y^{2}.

$$32x+16y+256=144$$

Kendu 256 bi aldeetatik.

$$32x+16y=144-256$$

-112 lortzeko, 144 balioari kendu 256.

$$32x+16y=-112$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x-y=3,32x+16y=-112$$

x eta 32x berdintzeko, biderkatu 32 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$32x+32\left(-1\right)y=32\times 3,32x+16y=-112$$

Sinplifikatu.

$$32x-32y=96,32x+16y=-112$$

Egin 32x+16y=-112 ken 32x-32y=96 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$32x-32x-32y-16y=96+112$$

Gehitu 32x eta -32x. Sinplifikatu egiten dira 32x eta -32x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-32y-16y=96+112$$

Gehitu -32y eta -16y.

$$-48y=96+112$$

Gehitu 96 eta 112.

$$-48y=208$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -48 balioarekin.

$$y=-\frac{13}{3}$$

Ordeztu -\frac{13}{3} y balioarekin 32x+16y=-112 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$32x+16\left(-\frac{13}{3}\right)=-112$$

Egin 16 bider -\frac{13}{3}.

$$32x-\frac{208}{3}=-112$$

Gehitu \frac{208}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$32x=-\frac{128}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 32 balioarekin.

$$x=-\frac{4}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{4}{3},y=-\frac{13}{3}$$