Resolver {l}{xsqrt{2}+ysqrt{3}=5}{xsqrt{3}-ysqrt{2}=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x \sqrt { 2 } + y \sqrt { 3 } = 5 } \\ { x \sqrt { 3 } - y \sqrt { 2 } = 0 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\sqrt{2}\approx 1.414213562$$

$$y=\sqrt{3}\approx 1.732050808$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Berrantolatu gaiak.

$$\sqrt{3}x-\sqrt{2}y=0$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$\sqrt{2}x+\sqrt{3}y=5,\sqrt{3}x+\left(-\sqrt{2}\right)y=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$\sqrt{2}x+\sqrt{3}y=5$$

Egin ken \sqrt{3}y ekuazioaren bi aldeetan.

$$\sqrt{2}x=\left(-\sqrt{3}\right)y+5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \sqrt{2} balioarekin.

$$x=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\left(-\sqrt{3}\right)y+5\right)$$

Egin \frac{\sqrt{2}}{2} bider -\sqrt{3}y+5.

$$x=\left(-\frac{\sqrt{6}}{2}\right)y+\frac{5\sqrt{2}}{2}$$

Ordeztu \frac{-\sqrt{6}y+5\sqrt{2}}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (\sqrt{3}x+\left(-\sqrt{2}\right)y=0).

$$\sqrt{3}\left(\left(-\frac{\sqrt{6}}{2}\right)y+\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)+\left(-\sqrt{2}\right)y=0$$

Egin \sqrt{3} bider \frac{-\sqrt{6}y+5\sqrt{2}}{2}.

$$\left(-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)y+\frac{5\sqrt{6}}{2}+\left(-\sqrt{2}\right)y=0$$

Gehitu -\frac{3\sqrt{2}y}{2} eta -\sqrt{2}y.

$$\left(-\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)y+\frac{5\sqrt{6}}{2}=0$$

Egin ken \frac{5\sqrt{6}}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\left(-\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)y=-\frac{5\sqrt{6}}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{5\sqrt{2}}{2} balioarekin.

$$y=\sqrt{3}$$

Ordeztu \sqrt{3} y balioarekin x=\left(-\frac{\sqrt{6}}{2}\right)y+\frac{5\sqrt{2}}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\left(-\frac{\sqrt{6}}{2}\right)\sqrt{3}+\frac{5\sqrt{2}}{2}$$

Egin -\frac{\sqrt{6}}{2} bider \sqrt{3}.

$$x=\frac{-3\sqrt{2}+5\sqrt{2}}{2}$$

Gehitu \frac{5\sqrt{2}}{2} eta -\frac{3\sqrt{2}}{2}.

$$x=\sqrt{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\sqrt{2},y=\sqrt{3}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Berrantolatu gaiak.

$$\sqrt{3}x-\sqrt{2}y=0$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$\sqrt{2}x+\sqrt{3}y=5,\sqrt{3}x+\left(-\sqrt{2}\right)y=0$$

\sqrt{2}x eta \sqrt{3}x berdintzeko, biderkatu \sqrt{3} balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu \sqrt{2} balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$\sqrt{3}\sqrt{2}x+\sqrt{3}\sqrt{3}y=\sqrt{3}\times 5,\sqrt{2}\sqrt{3}x+\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)y=0$$

Sinplifikatu.

$$\sqrt{6}x+3y=5\sqrt{3},\sqrt{6}x-2y=0$$

Egin \sqrt{6}x-2y=0 ken \sqrt{6}x+3y=5\sqrt{3} berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$\sqrt{6}x+\left(-\sqrt{6}\right)x+3y+2y=5\sqrt{3}$$

Gehitu \sqrt{6}x eta -\sqrt{6}x. Sinplifikatu egiten dira \sqrt{6}x eta -\sqrt{6}x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$3y+2y=5\sqrt{3}$$

Gehitu 3y eta 2y.

$$5y=5\sqrt{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$y=\sqrt{3}$$

Ordeztu \sqrt{3} y balioarekin \sqrt{3}x+\left(-\sqrt{2}\right)y=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$\sqrt{3}x+\left(-\sqrt{2}\right)\sqrt{3}=0$$

Egin -\sqrt{2} bider \sqrt{3}.

$$\sqrt{3}x-\sqrt{6}=0$$

Gehitu \sqrt{6} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\sqrt{3}x=\sqrt{6}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \sqrt{3} balioarekin.

$$x=\sqrt{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\sqrt{2},y=\sqrt{3}$$