Resolver {l}{x^2+y^2=4}{x+y=a}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4 } \\ { x + y = a } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{-\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}$$

$$x=\frac{-\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}$$

Ordezkapenaren eta formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Ebatzi x+y=a ekuazioko x. Horretarako, isolatu x berdin zeinuaren ezkerreko aldean.

$$x+y=a$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+a$$

Ordeztu -y+a balioa x balioarekin beste ekuazioan (y^{2}+x^{2}=4).

$$y^{2}+\left(-y+a\right)^{2}=4$$

Egin -y+a ber bi.

$$y^{2}+y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=4$$

Gehitu y^{2} eta y^{2}.

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=4$$

Egin ken 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}-4=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 1+1\left(-1\right)^{2} balioa a balioarekin, 1\left(-1\right)\times 2a balioa b balioarekin, eta -4+a^{2} balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{\left(-2a\right)^{2}-4\times 2\left(a^{2}-4\right)}}{2\times 2}$$

Egin 1\left(-1\right)\times 2a ber bi.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-4\times 2\left(a^{2}-4\right)}}{2\times 2}$$

Egin -4 bider 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-8\left(a^{2}-4\right)}}{2\times 2}$$

Egin -8 bider -4+a^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}+32-8a^{2}}}{2\times 2}$$

Gehitu 4a^{2} eta 32-8a^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{32-4a^{2}}}{2\times 2}$$

Atera 32-4a^{2} balioaren erro karratua.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±2\sqrt{8-a^{2}}}{2\times 2}$$

Egin 2 bider 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{2a±2\sqrt{8-a^{2}}}{4}$$

Orain, ebatzi y=\frac{2a±2\sqrt{8-a^{2}}}{4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 2a eta 2\sqrt{8-a^{2}}.

$$y=\frac{2\sqrt{8-a^{2}}+2a}{4}$$

Zatitu 2a+2\sqrt{8-a^{2}} balioa 4 balioarekin.

$$y=\frac{\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}$$

Orain, ebatzi y=\frac{2a±2\sqrt{8-a^{2}}}{4} ekuazioa ± minus denean. Egin 2\sqrt{8-a^{2}} ken 2a.

$$y=\frac{-2\sqrt{8-a^{2}}+2a}{4}$$

Zatitu 2a-2\sqrt{8-a^{2}} balioa 4 balioarekin.

$$y=\frac{-\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}$$

Bi ebazpide ditu y balioak: \frac{a+\sqrt{8-a^{2}}}{2} eta \frac{a-\sqrt{8-a^{2}}}{2}. Ordeztu \frac{a+\sqrt{8-a^{2}}}{2} balioa y balioarekin x=-y+a ekuazioan, bi ekuazioekin bat datorren x balioaren ebazpena aurkitzeko.

$$x=-\frac{\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}+a$$

Orain, ordeztu \frac{a-\sqrt{8-a^{2}}}{2} balioa x=-y+a ekuazioko y balioarekin eta ebatz ezazu, bi ekuazioekin bat datorren x balioaren ebazpena aurkitzeko.

$$x=-\frac{-\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}+a$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}\text{ or }x=-\frac{-\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{-\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{-\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}$$

$$x=\frac{-\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}\text{, }|a|\leq 2\sqrt{2}$$

Ordezkapenaren eta formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=a,y^{2}+x^{2}=4$$

Ebatzi x+y=a ekuazioko x. Horretarako, isolatu x berdin zeinuaren ezkerreko aldean.

$$x+y=a$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+a$$

Ordeztu -y+a balioa x balioarekin beste ekuazioan (y^{2}+x^{2}=4).

$$y^{2}+\left(-y+a\right)^{2}=4$$

Egin -y+a ber bi.

$$y^{2}+y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=4$$

Gehitu y^{2} eta y^{2}.

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=4$$

Egin ken 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}-4=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 1+1\left(-1\right)^{2} balioa a balioarekin, 1\left(-1\right)\times 2a balioa b balioarekin, eta -4+a^{2} balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{\left(-2a\right)^{2}-4\times 2\left(a^{2}-4\right)}}{2\times 2}$$

Egin 1\left(-1\right)\times 2a ber bi.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-4\times 2\left(a^{2}-4\right)}}{2\times 2}$$

Egin -4 bider 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-8\left(a^{2}-4\right)}}{2\times 2}$$

Egin -8 bider -4+a^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}+32-8a^{2}}}{2\times 2}$$

Gehitu 4a^{2} eta 32-8a^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{32-4a^{2}}}{2\times 2}$$

Atera 32-4a^{2} balioaren erro karratua.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±2\sqrt{8-a^{2}}}{2\times 2}$$

Egin 2 bider 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{2a±2\sqrt{8-a^{2}}}{4}$$

Orain, ebatzi y=\frac{2a±2\sqrt{8-a^{2}}}{4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 2a eta 2\sqrt{8-a^{2}}.

$$y=\frac{2\sqrt{8-a^{2}}+2a}{4}$$

Zatitu 2a+2\sqrt{8-a^{2}} balioa 4 balioarekin.

$$y=\frac{\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}$$

Orain, ebatzi y=\frac{2a±2\sqrt{8-a^{2}}}{4} ekuazioa ± minus denean. Egin 2\sqrt{8-a^{2}} ken 2a.

$$y=\frac{-2\sqrt{8-a^{2}}+2a}{4}$$

Zatitu 2a-2\sqrt{8-a^{2}} balioa 4 balioarekin.

$$y=\frac{-\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}$$

Bi ebazpide ditu y balioak: \frac{a+\sqrt{8-a^{2}}}{2} eta \frac{a-\sqrt{8-a^{2}}}{2}. Ordeztu \frac{a+\sqrt{8-a^{2}}}{2} balioa y balioarekin x=-y+a ekuazioan, bi ekuazioekin bat datorren x balioaren ebazpena aurkitzeko.

$$x=-\frac{\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}+a$$

Orain, ordeztu \frac{a-\sqrt{8-a^{2}}}{2} balioa x=-y+a ekuazioko y balioarekin eta ebatz ezazu, bi ekuazioekin bat datorren x balioaren ebazpena aurkitzeko.

$$x=-\frac{-\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}+a$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}\text{ or }x=-\frac{-\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{-\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}$$