Resolver {l}{x^2+y^2=16}{x+y=sqrt{26}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 16 } \\ { x + y = \sqrt { 26 } } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{26}}{2}\approx 3.774254628\text{, }y=\frac{\sqrt{26}-\sqrt{6}}{2}\approx 1.324764885$$

$$x=\frac{\sqrt{26}-\sqrt{6}}{2}\approx 1.324764885\text{, }y=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{26}}{2}\approx 3.774254628$$

Ordezkapenaren eta formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=\sqrt{26},y^{2}+x^{2}=16$$

Ebatzi x+y=\sqrt{26} ekuazioko x. Horretarako, isolatu x berdin zeinuaren ezkerreko aldean.

$$x+y=\sqrt{26}$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+\sqrt{26}$$

Ordeztu -y+\sqrt{26} balioa x balioarekin beste ekuazioan (y^{2}+x^{2}=16).

$$y^{2}+\left(-y+\sqrt{26}\right)^{2}=16$$

Egin -y+\sqrt{26} ber bi.

$$y^{2}+y^{2}+\left(-2\sqrt{26}\right)y+\left(\sqrt{26}\right)^{2}=16$$

Gehitu y^{2} eta y^{2}.

$$2y^{2}+\left(-2\sqrt{26}\right)y+\left(\sqrt{26}\right)^{2}=16$$

Egin ken 16 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y^{2}+\left(-2\sqrt{26}\right)y+\left(\sqrt{26}\right)^{2}-16=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 1+1\left(-1\right)^{2} balioa a balioarekin, 1\left(-1\right)\times 2\sqrt{26} balioa b balioarekin, eta 10 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$y=\frac{-\left(-2\sqrt{26}\right)±\sqrt{\left(-2\sqrt{26}\right)^{2}-4\times 2\times 10}}{2\times 2}$$

Egin 1\left(-1\right)\times 2\sqrt{26} ber bi.

$$y=\frac{-\left(-2\sqrt{26}\right)±\sqrt{104-4\times 2\times 10}}{2\times 2}$$

Egin -4 bider 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2\sqrt{26}\right)±\sqrt{104-8\times 10}}{2\times 2}$$

Egin -8 bider 10.

$$y=\frac{-\left(-2\sqrt{26}\right)±\sqrt{104-80}}{2\times 2}$$

Gehitu 104 eta -80.

$$y=\frac{-\left(-2\sqrt{26}\right)±\sqrt{24}}{2\times 2}$$

Atera 24 balioaren erro karratua.

$$y=\frac{-\left(-2\sqrt{26}\right)±2\sqrt{6}}{2\times 2}$$

1\left(-1\right)\times 2\sqrt{26} zenbakiaren aurkakoa 2\sqrt{26} da.

$$y=\frac{2\sqrt{26}±2\sqrt{6}}{2\times 2}$$

Egin 2 bider 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{2\sqrt{26}±2\sqrt{6}}{4}$$

Orain, ebatzi y=\frac{2\sqrt{26}±2\sqrt{6}}{4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 2\sqrt{26} eta 2\sqrt{6}.

$$y=\frac{2\sqrt{6}+2\sqrt{26}}{4}$$

Zatitu 2\sqrt{26}+2\sqrt{6} balioa 4 balioarekin.

$$y=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{26}}{2}$$

Orain, ebatzi y=\frac{2\sqrt{26}±2\sqrt{6}}{4} ekuazioa ± minus denean. Egin 2\sqrt{6} ken 2\sqrt{26}.

$$y=\frac{2\sqrt{26}-2\sqrt{6}}{4}$$

Zatitu 2\sqrt{26}-2\sqrt{6} balioa 4 balioarekin.

$$y=\frac{\sqrt{26}-\sqrt{6}}{2}$$

Bi ebazpide ditu y balioak: \frac{\sqrt{26}+\sqrt{6}}{2} eta \frac{\sqrt{26}-\sqrt{6}}{2}. Ordeztu \frac{\sqrt{26}+\sqrt{6}}{2} balioa y balioarekin x=-y+\sqrt{26} ekuazioan, bi ekuazioekin bat datorren x balioaren ebazpena aurkitzeko.

$$x=-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{26}}{2}+\sqrt{26}$$

Orain, ordeztu \frac{\sqrt{26}-\sqrt{6}}{2} balioa x=-y+\sqrt{26} ekuazioko y balioarekin eta ebatz ezazu, bi ekuazioekin bat datorren x balioaren ebazpena aurkitzeko.

$$x=-\frac{\sqrt{26}-\sqrt{6}}{2}+\sqrt{26}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{26}}{2}+\sqrt{26},y=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{26}}{2}\text{ or }x=-\frac{\sqrt{26}-\sqrt{6}}{2}+\sqrt{26},y=\frac{\sqrt{26}-\sqrt{6}}{2}$$