Resolver {l}{x^2+y^2=1}{4x-3y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1 } \\ { 4 x - 3 y = 5 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{4}{5}=0.8$$

$$y=-\frac{3}{5}=-0.6$$

Ordezkapenaren eta formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4x-3y=5,y^{2}+x^{2}=1$$

Ebatzi 4x-3y=5 ekuazioko x. Horretarako, isolatu x berdin zeinuaren ezkerreko aldean.

$$4x-3y=5$$

Egin ken -3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=3y+5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}$$

Ordeztu \frac{3}{4}y+\frac{5}{4} balioa x balioarekin beste ekuazioan (y^{2}+x^{2}=1).

$$y^{2}+\left(\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}\right)^{2}=1$$

Egin \frac{3}{4}y+\frac{5}{4} ber bi.

$$y^{2}+\frac{9}{16}y^{2}+\frac{15}{8}y+\frac{25}{16}=1$$

Gehitu y^{2} eta \frac{9}{16}y^{2}.

$$\frac{25}{16}y^{2}+\frac{15}{8}y+\frac{25}{16}=1$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{25}{16}y^{2}+\frac{15}{8}y+\frac{9}{16}=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 1+1\times \left(\frac{3}{4}\right)^{2} balioa a balioarekin, 1\times \frac{5}{4}\times \frac{3}{4}\times 2 balioa b balioarekin, eta \frac{9}{16} balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$y=\frac{-\frac{15}{8}±\sqrt{\left(\frac{15}{8}\right)^{2}-4\times \frac{25}{16}\times \frac{9}{16}}}{2\times \frac{25}{16}}$$

Egin 1\times \frac{5}{4}\times \frac{3}{4}\times 2 ber bi.

$$y=\frac{-\frac{15}{8}±\sqrt{\frac{225}{64}-4\times \frac{25}{16}\times \frac{9}{16}}}{2\times \frac{25}{16}}$$

Egin -4 bider 1+1\times \left(\frac{3}{4}\right)^{2}.

$$y=\frac{-\frac{15}{8}±\sqrt{\frac{225}{64}-\frac{25}{4}\times \frac{9}{16}}}{2\times \frac{25}{16}}$$

Egin -\frac{25}{4} bider \frac{9}{16}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y=\frac{-\frac{15}{8}±\sqrt{\frac{225-225}{64}}}{2\times \frac{25}{16}}$$

Gehitu \frac{225}{64} eta -\frac{225}{64} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y=\frac{-\frac{15}{8}±\sqrt{0}}{2\times \frac{25}{16}}$$

Atera 0 balioaren erro karratua.

$$y=-\frac{\frac{15}{8}}{2\times \frac{25}{16}}$$

Egin 2 bider 1+1\times \left(\frac{3}{4}\right)^{2}.

$$y=-\frac{\frac{15}{8}}{\frac{25}{8}}$$

Zatitu -\frac{15}{8} balioa \frac{25}{8} frakzioarekin, -\frac{15}{8} balioa \frac{25}{8} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$y=-\frac{3}{5}$$

Bi ebazpide ditu y balioak: -\frac{3}{5} eta -\frac{3}{5}. Ordeztu -\frac{3}{5} balioa y balioarekin x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{4} ekuazioan, bi ekuazioekin bat datorren x balioaren ebazpena aurkitzeko.

$$x=\frac{3}{4}\left(-\frac{3}{5}\right)+\frac{5}{4}$$

Egin \frac{3}{4} bider -\frac{3}{5}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{9}{20}+\frac{5}{4}$$

Gehitu -\frac{3}{5}\times \frac{3}{4} eta \frac{5}{4}.

$$x=\frac{4}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{4}{5},y=-\frac{3}{5}\text{ or }x=\frac{4}{5},y=-\frac{3}{5}$$