Resolver {l}{x=y+3}{7x-5y=19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = y + 3 } \\ { 7 x - 5 y = 19 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=2$$

$$y=-1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$x-y=3$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x-y=3,7x-5y=19$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x-y=3$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=y+3$$

Ordeztu y+3 balioa x balioarekin beste ekuazioan (7x-5y=19).

$$7\left(y+3\right)-5y=19$$

Egin 7 bider y+3.

$$7y+21-5y=19$$

Gehitu 7y eta -5y.

$$2y+21=19$$

Egin ken 21 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y=-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin x=y+3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-1+3$$

Gehitu 3 eta -1.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=-1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$x-y=3$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x-y=3,7x-5y=19$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\7&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-1\\7&-5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\7&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-\left(-7\right)}&-\frac{-1}{-5-\left(-7\right)}\\-\frac{7}{-5-\left(-7\right)}&\frac{1}{-5-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{7}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\times 3+\frac{1}{2}\times 19\\-\frac{7}{2}\times 3+\frac{1}{2}\times 19\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=2,y=-1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$x-y=3$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x-y=3,7x-5y=19$$

x eta 7x berdintzeko, biderkatu 7 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$7x+7\left(-1\right)y=7\times 3,7x-5y=19$$

Sinplifikatu.

$$7x-7y=21,7x-5y=19$$

Egin 7x-5y=19 ken 7x-7y=21 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$7x-7x-7y+5y=21-19$$

Gehitu 7x eta -7x. Sinplifikatu egiten dira 7x eta -7x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-7y+5y=21-19$$

Gehitu -7y eta 5y.

$$-2y=21-19$$

Gehitu 21 eta -19.

$$-2y=2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin 7x-5y=19 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$7x-5\left(-1\right)=19$$

Egin -5 bider -1.

$$7x+5=19$$

Egin ken 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x=14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=-1$$