Resolver {l}{x=3y}{2y-3x=28}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 3 y } \\ { 2 y - 3 x = 28 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-12$$

$$y=-4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3y bi aldeetatik.

$$x-3y=0$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x-3y=0,-3x+2y=28$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x-3y=0$$

Gehitu 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=3y$$

Ordeztu 3y balioa x balioarekin beste ekuazioan (-3x+2y=28).

$$-3\times 3y+2y=28$$

Egin -3 bider 3y.

$$-9y+2y=28$$

Gehitu -9y eta 2y.

$$-7y=28$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$y=-4$$

Ordeztu -4 y balioarekin x=3y ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=3\left(-4\right)$$

Egin 3 bider -4.

$$x=-12$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-12,y=-4$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3y bi aldeetatik.

$$x-3y=0$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x-3y=0,-3x+2y=28$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\28\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-3\\-3&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\28\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\28\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\28\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-3\left(-3\right)\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{2-\left(-3\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{2-\left(-3\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\28\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}&-\frac{3}{7}\\-\frac{3}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\28\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{7}\times 28\\-\frac{1}{7}\times 28\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\-4\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-12,y=-4$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3y bi aldeetatik.

$$x-3y=0$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x-3y=0,-3x+2y=28$$

x eta -3x berdintzeko, biderkatu -3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-3x-3\left(-3\right)y=0,-3x+2y=28$$

Sinplifikatu.

$$-3x+9y=0,-3x+2y=28$$

Egin -3x+2y=28 ken -3x+9y=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-3x+3x+9y-2y=-28$$

Gehitu -3x eta 3x. Sinplifikatu egiten dira -3x eta 3x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$9y-2y=-28$$

Gehitu 9y eta -2y.

$$7y=-28$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$y=-4$$

Ordeztu -4 y balioarekin -3x+2y=28 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-3x+2\left(-4\right)=28$$

Egin 2 bider -4.

$$-3x-8=28$$

Gehitu 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3x=36$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$x=-12$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-12,y=-4$$