Resolver {l}{x=3y+2}{x+3y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 3 y + 2 } \\ { x + 3 y = 8 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=5$$

$$y=1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3y bi aldeetatik.

$$x-3y=2$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x-3y=2,x+3y=8$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x-3y=2$$

Gehitu 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=3y+2$$

Ordeztu 3y+2 balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+3y=8).

$$3y+2+3y=8$$

Gehitu 3y eta 3y.

$$6y+2=8$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$6y=6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin x=3y+2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=3+2$$

Gehitu 2 eta 3.

$$x=5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=5,y=1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3y bi aldeetatik.

$$x-3y=2$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x-3y=2,x+3y=8$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{3-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-3\right)}&\frac{1}{3-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 2+\frac{1}{2}\times 8\\-\frac{1}{6}\times 2+\frac{1}{6}\times 8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=5,y=1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3y bi aldeetatik.

$$x-3y=2$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x-3y=2,x+3y=8$$

Egin x+3y=8 ken x-3y=2 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$x-x-3y-3y=2-8$$

Gehitu x eta -x. Sinplifikatu egiten dira x eta -x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-3y-3y=2-8$$

Gehitu -3y eta -3y.

$$-6y=2-8$$

Gehitu 2 eta -8.

$$-6y=-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -6 balioarekin.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin x+3y=8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x+3=8$$

Egin ken 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=5,y=1$$