Resolver {l}{x=2y}{y=3x-10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 2 y } \\ { y = 3 x - 10 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=4$$

$$y=2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2y bi aldeetatik.

$$x-2y=0$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3x bi aldeetatik.

$$y-3x=-10$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x-2y=0,-3x+y=-10$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x-2y=0$$

Gehitu 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=2y$$

Ordeztu 2y balioa x balioarekin beste ekuazioan (-3x+y=-10).

$$-3\times 2y+y=-10$$

Egin -3 bider 2y.

$$-6y+y=-10$$

Gehitu -6y eta y.

$$-5y=-10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin x=2y ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=2\times 2$$

Egin 2 bider 2.

$$x=4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=4,y=2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2y bi aldeetatik.

$$x-2y=0$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3x bi aldeetatik.

$$y-3x=-10$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x-2y=0,-3x+y=-10$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-2\\-3&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-10\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{1-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\\-\frac{3}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\left(-10\right)\\-\frac{1}{5}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=4,y=2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2y bi aldeetatik.

$$x-2y=0$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3x bi aldeetatik.

$$y-3x=-10$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x-2y=0,-3x+y=-10$$

x eta -3x berdintzeko, biderkatu -3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-3x-3\left(-2\right)y=0,-3x+y=-10$$

Sinplifikatu.

$$-3x+6y=0,-3x+y=-10$$

Egin -3x+y=-10 ken -3x+6y=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-3x+3x+6y-y=10$$

Gehitu -3x eta 3x. Sinplifikatu egiten dira -3x eta 3x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$6y-y=10$$

Gehitu 6y eta -y.

$$5y=10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin -3x+y=-10 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-3x+2=-10$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3x=-12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$x=4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=4,y=2$$