Resolver {l}{x=-1/4y+5}{3x+2y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = - \frac { 1 } { 4 } y + 5 } \\ { 3 x + 2 y = 0 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=8$$

$$y=-12$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu \frac{1}{4}y bi aldeetan.

$$x+\frac{1}{4}y=5$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+\frac{1}{4}y=5,3x+2y=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+\frac{1}{4}y=5$$

Egin ken \frac{y}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-\frac{1}{4}y+5$$

Ordeztu -\frac{y}{4}+5 balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x+2y=0).

$$3\left(-\frac{1}{4}y+5\right)+2y=0$$

Egin 3 bider -\frac{y}{4}+5.

$$-\frac{3}{4}y+15+2y=0$$

Gehitu -\frac{3y}{4} eta 2y.

$$\frac{5}{4}y+15=0$$

Egin ken 15 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{5}{4}y=-15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{5}{4} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-12$$

Ordeztu -12 y balioarekin x=-\frac{1}{4}y+5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-12\right)+5$$

Egin -\frac{1}{4} bider -12.

$$x=3+5$$

Gehitu 5 eta 3.

$$x=8$$

Ebatzi da sistema.

$$x=8,y=-12$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu \frac{1}{4}y bi aldeetan.

$$x+\frac{1}{4}y=5$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+\frac{1}{4}y=5,3x+2y=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\frac{1}{4}\times 3}&-\frac{\frac{1}{4}}{2-\frac{1}{4}\times 3}\\-\frac{3}{2-\frac{1}{4}\times 3}&\frac{1}{2-\frac{1}{4}\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{12}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}\times 5\\-\frac{12}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=8,y=-12$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu \frac{1}{4}y bi aldeetan.

$$x+\frac{1}{4}y=5$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+\frac{1}{4}y=5,3x+2y=0$$

x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3x+3\times \frac{1}{4}y=3\times 5,3x+2y=0$$

Sinplifikatu.

$$3x+\frac{3}{4}y=15,3x+2y=0$$

Egin 3x+2y=0 ken 3x+\frac{3}{4}y=15 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3x-3x+\frac{3}{4}y-2y=15$$

Gehitu 3x eta -3x. Sinplifikatu egiten dira 3x eta -3x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$\frac{3}{4}y-2y=15$$

Gehitu \frac{3y}{4} eta -2y.

$$-\frac{5}{4}y=15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{5}{4} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-12$$

Ordeztu -12 y balioarekin 3x+2y=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x+2\left(-12\right)=0$$

Egin 2 bider -12.

$$3x-24=0$$

Gehitu 24 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=24$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=8$$

Ebatzi da sistema.

$$x=8,y=-12$$