Resolver {l}{x=3/4y}{y=8/9x-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = \frac { 3 } { 4 } y } \\ { y = \frac { 8 } { 9 } x - 4 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-9$$

$$y=-12$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{3}{4}y bi aldeetatik.

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{8}{9}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{8}{9}x=-4$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x-\frac{3}{4}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

Gehitu \frac{3y}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{3}{4}y$$

Ordeztu \frac{3y}{4} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-\frac{8}{9}x+y=-4).

$$-\frac{8}{9}\times \frac{3}{4}y+y=-4$$

Egin -\frac{8}{9} bider \frac{3y}{4}.

$$-\frac{2}{3}y+y=-4$$

Gehitu -\frac{2y}{3} eta y.

$$\frac{1}{3}y=-4$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$y=-12$$

Ordeztu -12 y balioarekin x=\frac{3}{4}y ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{3}{4}\left(-12\right)$$

Egin \frac{3}{4} bider -12.

$$x=-9$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-9,y=-12$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{3}{4}y bi aldeetatik.

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{8}{9}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{8}{9}x=-4$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x-\frac{3}{4}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}&-\frac{-\frac{3}{4}}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{8}{9}}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&\frac{9}{4}\\\frac{8}{3}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}\left(-4\right)\\3\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-9,y=-12$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{3}{4}y bi aldeetatik.

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{8}{9}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{8}{9}x=-4$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x-\frac{3}{4}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

x eta -\frac{8x}{9} berdintzeko, biderkatu -\frac{8}{9} balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-\frac{8}{9}x-\frac{8}{9}\left(-\frac{3}{4}\right)y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

Sinplifikatu.

$$-\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

Egin -\frac{8}{9}x+y=-4 ken -\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}y=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-\frac{8}{9}x+\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}y-y=4$$

Gehitu -\frac{8x}{9} eta \frac{8x}{9}. Sinplifikatu egiten dira -\frac{8x}{9} eta \frac{8x}{9}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$\frac{2}{3}y-y=4$$

Gehitu \frac{2y}{3} eta -y.

$$-\frac{1}{3}y=4$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$y=-12$$

Ordeztu -12 y balioarekin -\frac{8}{9}x+y=-4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-\frac{8}{9}x-12=-4$$

Gehitu 12 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{8}{9}x=8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{8}{9} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=-9$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-9,y=-12$$