Resolver {l}{x+y=8}{2/5x+5/7ay/8=0.5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 8 } \\ { \frac { \frac { 2 } { 5 } x + \frac { 5 } { 7 } a y } { 8 } = 0.5 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-\frac{20\left(7-10a\right)}{25a-14}$$

$$y=\frac{28}{25a-14}$$

$$a\neq \frac{14}{25}$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$\frac{2}{5}x+\frac{5}{7}ay=0.5\times 8$$

4 lortzeko, biderkatu 0.5 eta 8.

$$\frac{2}{5}x+\frac{5}{7}ay=4$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=8,\frac{2}{5}x+\frac{5a}{7}y=4$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=8$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+8$$

Ordeztu -y+8 balioa x balioarekin beste ekuazioan (\frac{2}{5}x+\frac{5a}{7}y=4).

$$\frac{2}{5}\left(-y+8\right)+\frac{5a}{7}y=4$$

Egin \frac{2}{5} bider -y+8.

$$-\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}+\frac{5a}{7}y=4$$

Gehitu -\frac{2y}{5} eta \frac{5ay}{7}.

$$\left(\frac{5a}{7}-\frac{2}{5}\right)y+\frac{16}{5}=4$$

Egin ken \frac{16}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\left(\frac{5a}{7}-\frac{2}{5}\right)y=\frac{4}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{2}{5}+\frac{5a}{7} balioarekin.

$$y=\frac{28}{25a-14}$$

Ordeztu \frac{28}{-14+25a} y balioarekin x=-y+8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{28}{25a-14}+8$$

Gehitu 8 eta -\frac{28}{-14+25a}.

$$x=\frac{20\left(10a-7\right)}{25a-14}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{20\left(10a-7\right)}{25a-14},y=\frac{28}{25a-14}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$\frac{2}{5}x+\frac{5}{7}ay=0.5\times 8$$

4 lortzeko, biderkatu 0.5 eta 8.

$$\frac{2}{5}x+\frac{5}{7}ay=4$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=8,\frac{2}{5}x+\frac{5a}{7}y=4$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&\frac{5a}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&\frac{5a}{7}\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&\frac{5a}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&\frac{5a}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&\frac{5a}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&\frac{5a}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&\frac{5a}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5a}{7\left(\frac{5a}{7}-\frac{2}{5}\right)}&-\frac{1}{\frac{5a}{7}-\frac{2}{5}}\\-\frac{\frac{2}{5}}{\frac{5a}{7}-\frac{2}{5}}&\frac{1}{\frac{5a}{7}-\frac{2}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25a}{25a-14}&-\frac{35}{25a-14}\\-\frac{14}{25a-14}&\frac{35}{25a-14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25a}{25a-14}\times 8+\left(-\frac{35}{25a-14}\right)\times 4\\\left(-\frac{14}{25a-14}\right)\times 8+\frac{35}{25a-14}\times 4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20\left(10a-7\right)}{25a-14}\\\frac{28}{25a-14}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{20\left(10a-7\right)}{25a-14},y=\frac{28}{25a-14}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$\frac{2}{5}x+\frac{5}{7}ay=0.5\times 8$$

4 lortzeko, biderkatu 0.5 eta 8.

$$\frac{2}{5}x+\frac{5}{7}ay=4$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=8,\frac{2}{5}x+\frac{5a}{7}y=4$$

x eta \frac{2x}{5} berdintzeko, biderkatu \frac{2}{5} balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y=\frac{2}{5}\times 8,\frac{2}{5}x+\frac{5a}{7}y=4$$

Sinplifikatu.

$$\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y=\frac{16}{5},\frac{2}{5}x+\frac{5a}{7}y=4$$

Egin \frac{2}{5}x+\frac{5a}{7}y=4 ken \frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y=\frac{16}{5} berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$\frac{2}{5}x-\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y+\left(-\frac{5a}{7}\right)y=\frac{16}{5}-4$$

Gehitu \frac{2x}{5} eta -\frac{2x}{5}. Sinplifikatu egiten dira \frac{2x}{5} eta -\frac{2x}{5}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$\frac{2}{5}y+\left(-\frac{5a}{7}\right)y=\frac{16}{5}-4$$

Gehitu \frac{2y}{5} eta -\frac{5ay}{7}.

$$\left(-\frac{5a}{7}+\frac{2}{5}\right)y=\frac{16}{5}-4$$

Gehitu \frac{16}{5} eta -4.

$$\left(-\frac{5a}{7}+\frac{2}{5}\right)y=-\frac{4}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{2}{5}-\frac{5a}{7} balioarekin.

$$y=-\frac{28}{14-25a}$$

Ordeztu -\frac{28}{14-25a} y balioarekin \frac{2}{5}x+\frac{5a}{7}y=4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$\frac{2}{5}x+\frac{5a}{7}\left(-\frac{28}{14-25a}\right)=4$$

Egin \frac{5}{7}a bider -\frac{28}{14-25a}.

$$\frac{2}{5}x-\frac{20a}{14-25a}=4$$

Gehitu \frac{20a}{14-25a} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{2}{5}x=\frac{8\left(7-10a\right)}{14-25a}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{2}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=\frac{20\left(7-10a\right)}{14-25a}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{20\left(7-10a\right)}{14-25a},y=-\frac{28}{14-25a}$$