Resolver {l}{x+y=7}{3x+y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 7 } \\ { 3 x + y = 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-3$$

$$y=10$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=7,3x+y=1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=7$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+7$$

Ordeztu -y+7 balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x+y=1).

$$3\left(-y+7\right)+y=1$$

Egin 3 bider -y+7.

$$-3y+21+y=1$$

Gehitu -3y eta y.

$$-2y+21=1$$

Egin ken 21 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2y=-20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$y=10$$

Ordeztu 10 y balioarekin x=-y+7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-10+7$$

Gehitu 7 eta -10.

$$x=-3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-3,y=10$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=7,3x+y=1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3}&-\frac{1}{1-3}\\-\frac{3}{1-3}&\frac{1}{1-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 7+\frac{1}{2}\\\frac{3}{2}\times 7-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\10\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-3,y=10$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=7,3x+y=1$$

Egin 3x+y=1 ken x+y=7 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$x-3x+y-y=7-1$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$x-3x=7-1$$

Gehitu x eta -3x.

$$-2x=7-1$$

Gehitu 7 eta -1.

$$-2x=6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$x=-3$$

Ordeztu -3 x balioarekin 3x+y=1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$3\left(-3\right)+y=1$$

Egin 3 bider -3.

$$-9+y=1$$

Gehitu 9 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=10$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-3,y=10$$