Resolver {l}{x+y=60}{x-2y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 60 } \\ { x - 2 y = 0 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=40$$

$$y=20$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=60,x-2y=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=60$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+60$$

Ordeztu -y+60 balioa x balioarekin beste ekuazioan (x-2y=0).

$$-y+60-2y=0$$

Gehitu -y eta -2y.

$$-3y+60=0$$

Egin ken 60 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3y=-60$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$y=20$$

Ordeztu 20 y balioarekin x=-y+60 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-20+60$$

Gehitu 60 eta -20.

$$x=40$$

Ebatzi da sistema.

$$x=40,y=20$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=60,x-2y=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-1}&-\frac{1}{-2-1}\\-\frac{1}{-2-1}&\frac{1}{-2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 60\\\frac{1}{3}\times 60\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\20\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=40,y=20$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=60,x-2y=0$$

Egin x-2y=0 ken x+y=60 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$x-x+y+2y=60$$

Gehitu x eta -x. Sinplifikatu egiten dira x eta -x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$y+2y=60$$

Gehitu y eta 2y.

$$3y=60$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$y=20$$

Ordeztu 20 y balioarekin x-2y=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x-2\times 20=0$$

Egin -2 bider 20.

$$x-40=0$$

Gehitu 40 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=40$$

Ebatzi da sistema.

$$x=40,y=20$$