Resolver {l}{x+y=6}{3x-y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 6 } \\ { 3 x - y = - 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=1$$

$$y=5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=6,3x-y=-2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=6$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+6$$

Ordeztu -y+6 balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x-y=-2).

$$3\left(-y+6\right)-y=-2$$

Egin 3 bider -y+6.

$$-3y+18-y=-2$$

Gehitu -3y eta -y.

$$-4y+18=-2$$

Egin ken 18 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-4y=-20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$y=5$$

Ordeztu 5 y balioarekin x=-y+6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-5+6$$

Gehitu 6 eta -5.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=5$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=6,3x-y=-2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\3&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-3}&-\frac{1}{-1-3}\\-\frac{3}{-1-3}&\frac{1}{-1-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 6+\frac{1}{4}\left(-2\right)\\\frac{3}{4}\times 6-\frac{1}{4}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=1,y=5$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=6,3x-y=-2$$

x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3x+3y=3\times 6,3x-y=-2$$

Sinplifikatu.

$$3x+3y=18,3x-y=-2$$

Egin 3x-y=-2 ken 3x+3y=18 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3x-3x+3y+y=18+2$$

Gehitu 3x eta -3x. Sinplifikatu egiten dira 3x eta -3x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$3y+y=18+2$$

Gehitu 3y eta y.

$$4y=18+2$$

Gehitu 18 eta 2.

$$4y=20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$y=5$$

Ordeztu 5 y balioarekin 3x-y=-2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x-5=-2$$

Gehitu 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=5$$