Resolver {l}{x+y=45}{18x+120y=6000}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 45 } \\ { 18 x + 120 y = 6000 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = -\frac{100}{17} = -5\frac{15}{17} \approx -5.882352941$$

$$y = \frac{865}{17} = 50\frac{15}{17} \approx 50.882352941$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=45,18x+120y=6000$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=45$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+45$$

Ordeztu -y+45 balioa x balioarekin beste ekuazioan (18x+120y=6000).

$$18\left(-y+45\right)+120y=6000$$

Egin 18 bider -y+45.

$$-18y+810+120y=6000$$

Gehitu -18y eta 120y.

$$102y+810=6000$$

Egin ken 810 ekuazioaren bi aldeetan.

$$102y=5190$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 102 balioarekin.

$$y=\frac{865}{17}$$

Ordeztu \frac{865}{17} y balioarekin x=-y+45 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{865}{17}+45$$

Gehitu 45 eta -\frac{865}{17}.

$$x=-\frac{100}{17}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{100}{17},y=\frac{865}{17}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=45,18x+120y=6000$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{120}{120-18}&-\frac{1}{120-18}\\-\frac{18}{120-18}&\frac{1}{120-18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{17}&-\frac{1}{102}\\-\frac{3}{17}&\frac{1}{102}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{17}\times 45-\frac{1}{102}\times 6000\\-\frac{3}{17}\times 45+\frac{1}{102}\times 6000\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{100}{17}\\\frac{865}{17}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{100}{17},y=\frac{865}{17}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=45,18x+120y=6000$$

x eta 18x berdintzeko, biderkatu 18 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$18x+18y=18\times 45,18x+120y=6000$$

Sinplifikatu.

$$18x+18y=810,18x+120y=6000$$

Egin 18x+120y=6000 ken 18x+18y=810 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$18x-18x+18y-120y=810-6000$$

Gehitu 18x eta -18x. Sinplifikatu egiten dira 18x eta -18x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$18y-120y=810-6000$$

Gehitu 18y eta -120y.

$$-102y=810-6000$$

Gehitu 810 eta -6000.

$$-102y=-5190$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -102 balioarekin.

$$y=\frac{865}{17}$$

Ordeztu \frac{865}{17} y balioarekin 18x+120y=6000 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$18x+120\times \frac{865}{17}=6000$$

Egin 120 bider \frac{865}{17}.

$$18x+\frac{103800}{17}=6000$$

Egin ken \frac{103800}{17} ekuazioaren bi aldeetan.

$$18x=-\frac{1800}{17}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 18 balioarekin.

$$x=-\frac{100}{17}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{100}{17},y=\frac{865}{17}$$