Resolver {l}{x+y=4}{3x-3y=12}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 4 } \\ { 3 x - 3 y = 12 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=4$$

$$y=0$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=4,3x-3y=12$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=4$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+4$$

Ordeztu -y+4 balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x-3y=12).

$$3\left(-y+4\right)-3y=12$$

Egin 3 bider -y+4.

$$-3y+12-3y=12$$

Gehitu -3y eta -3y.

$$-6y+12=12$$

Egin ken 12 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-6y=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -6 balioarekin.

$$y=0$$

Ordeztu 0 y balioarekin x=-y+4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=4,y=0$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=4,3x-3y=12$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\3&-3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-3}&-\frac{1}{-3-3}\\-\frac{3}{-3-3}&\frac{1}{-3-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 4+\frac{1}{6}\times 12\\\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{6}\times 12\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=4,y=0$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=4,3x-3y=12$$

x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3x+3y=3\times 4,3x-3y=12$$

Sinplifikatu.

$$3x+3y=12,3x-3y=12$$

Egin 3x-3y=12 ken 3x+3y=12 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3x-3x+3y+3y=12-12$$

Gehitu 3x eta -3x. Sinplifikatu egiten dira 3x eta -3x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$3y+3y=12-12$$

Gehitu 3y eta 3y.

$$6y=12-12$$

Gehitu 12 eta -12.

$$6y=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$y=0$$

Ordeztu 0 y balioarekin 3x-3y=12 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x=12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=4,y=0$$