Resolver {l}{x+y=30000}{0.66x-0.03y=90}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 30000 } \\ { 0.66 x - 0.03 y = 90 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{33000}{23} = 1434\frac{18}{23} \approx 1434.782608696$$

$$y = \frac{657000}{23} = 28565\frac{5}{23} \approx 28565.217391304$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=30000,0.66x-0.03y=90$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=30000$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+30000$$

Ordeztu -y+30000 balioa x balioarekin beste ekuazioan (0.66x-0.03y=90).

$$0.66\left(-y+30000\right)-0.03y=90$$

Egin 0.66 bider -y+30000.

$$-0.66y+19800-0.03y=90$$

Gehitu -\frac{33y}{50} eta -\frac{3y}{100}.

$$-0.69y+19800=90$$

Egin ken 19800 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-0.69y=-19710$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -0.69 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{657000}{23}$$

Ordeztu \frac{657000}{23} y balioarekin x=-y+30000 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{657000}{23}+30000$$

Gehitu 30000 eta -\frac{657000}{23}.

$$x=\frac{33000}{23}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{33000}{23},y=\frac{657000}{23}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=30000,0.66x-0.03y=90$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.66&-0.03\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30000\\90\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\0.66&-0.03\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.66&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.66&-0.03\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.66&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30000\\90\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.66&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30000\\90\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.66&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30000\\90\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.03}{-0.03-0.66}&-\frac{1}{-0.03-0.66}\\-\frac{0.66}{-0.03-0.66}&\frac{1}{-0.03-0.66}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30000\\90\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23}&\frac{100}{69}\\\frac{22}{23}&-\frac{100}{69}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30000\\90\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23}\times 30000+\frac{100}{69}\times 90\\\frac{22}{23}\times 30000-\frac{100}{69}\times 90\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{33000}{23}\\\frac{657000}{23}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{33000}{23},y=\frac{657000}{23}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=30000,0.66x-0.03y=90$$

x eta \frac{33x}{50} berdintzeko, biderkatu 0.66 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$0.66x+0.66y=0.66\times 30000,0.66x-0.03y=90$$

Sinplifikatu.

$$0.66x+0.66y=19800,0.66x-0.03y=90$$

Egin 0.66x-0.03y=90 ken 0.66x+0.66y=19800 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$0.66x-0.66x+0.66y+0.03y=19800-90$$

Gehitu \frac{33x}{50} eta -\frac{33x}{50}. Sinplifikatu egiten dira \frac{33x}{50} eta -\frac{33x}{50}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$0.66y+0.03y=19800-90$$

Gehitu \frac{33y}{50} eta \frac{3y}{100}.

$$0.69y=19800-90$$

Gehitu 19800 eta -90.

$$0.69y=19710$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 0.69 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{657000}{23}$$

Ordeztu \frac{657000}{23} y balioarekin 0.66x-0.03y=90 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$0.66x-0.03\times \frac{657000}{23}=90$$

Egin -0.03 bider \frac{657000}{23}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$0.66x-\frac{19710}{23}=90$$

Gehitu \frac{19710}{23} ekuazioaren bi aldeetan.

$$0.66x=\frac{21780}{23}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 0.66 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=\frac{33000}{23}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{33000}{23},y=\frac{657000}{23}$$