Resolver {l}{x+y=30}{20x+25y=640}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 30 } \\ { 20 x + 25 y = 640 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=22$$

$$y=8$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=30,20x+25y=640$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=30$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+30$$

Ordeztu -y+30 balioa x balioarekin beste ekuazioan (20x+25y=640).

$$20\left(-y+30\right)+25y=640$$

Egin 20 bider -y+30.

$$-20y+600+25y=640$$

Gehitu -20y eta 25y.

$$5y+600=640$$

Egin ken 600 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5y=40$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$y=8$$

Ordeztu 8 y balioarekin x=-y+30 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-8+30$$

Gehitu 30 eta -8.

$$x=22$$

Ebatzi da sistema.

$$x=22,y=8$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=30,20x+25y=640$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\640\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\640\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\640\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\640\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{25-20}&-\frac{1}{25-20}\\-\frac{20}{25-20}&\frac{1}{25-20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\640\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-\frac{1}{5}\\-4&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\640\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 30-\frac{1}{5}\times 640\\-4\times 30+\frac{1}{5}\times 640\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\8\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=22,y=8$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=30,20x+25y=640$$

x eta 20x berdintzeko, biderkatu 20 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$20x+20y=20\times 30,20x+25y=640$$

Sinplifikatu.

$$20x+20y=600,20x+25y=640$$

Egin 20x+25y=640 ken 20x+20y=600 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$20x-20x+20y-25y=600-640$$

Gehitu 20x eta -20x. Sinplifikatu egiten dira 20x eta -20x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$20y-25y=600-640$$

Gehitu 20y eta -25y.

$$-5y=600-640$$

Gehitu 600 eta -640.

$$-5y=-40$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$y=8$$

Ordeztu 8 y balioarekin 20x+25y=640 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$20x+25\times 8=640$$

Egin 25 bider 8.

$$20x+200=640$$

Egin ken 200 ekuazioaren bi aldeetan.

$$20x=440$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 20 balioarekin.

$$x=22$$

Ebatzi da sistema.

$$x=22,y=8$$