Resolver {l}{x+y=220}{3/5x=38y-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 220 } \\ { \frac { 3 } { 5 } x = 38 y - 5 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{41775}{193} = 216\frac{87}{193} \approx 216.450777202$$

$$y = \frac{685}{193} = 3\frac{106}{193} \approx 3.549222798$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 38y bi aldeetatik.

$$\frac{3}{5}x-38y=-5$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=220,\frac{3}{5}x-38y=-5$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=220$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+220$$

Ordeztu -y+220 balioa x balioarekin beste ekuazioan (\frac{3}{5}x-38y=-5).

$$\frac{3}{5}\left(-y+220\right)-38y=-5$$

Egin \frac{3}{5} bider -y+220.

$$-\frac{3}{5}y+132-38y=-5$$

Gehitu -\frac{3y}{5} eta -38y.

$$-\frac{193}{5}y+132=-5$$

Egin ken 132 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{193}{5}y=-137$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{193}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{685}{193}$$

Ordeztu \frac{685}{193} y balioarekin x=-y+220 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{685}{193}+220$$

Gehitu 220 eta -\frac{685}{193}.

$$x=\frac{41775}{193}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{41775}{193},y=\frac{685}{193}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 38y bi aldeetatik.

$$\frac{3}{5}x-38y=-5$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=220,\frac{3}{5}x-38y=-5$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{5}&-38\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{5}&-38\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{5}&-38\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{5}&-38\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{5}&-38\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{5}&-38\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{5}&-38\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{38}{-38-\frac{3}{5}}&-\frac{1}{-38-\frac{3}{5}}\\-\frac{\frac{3}{5}}{-38-\frac{3}{5}}&\frac{1}{-38-\frac{3}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{190}{193}&\frac{5}{193}\\\frac{3}{193}&-\frac{5}{193}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{190}{193}\times 220+\frac{5}{193}\left(-5\right)\\\frac{3}{193}\times 220-\frac{5}{193}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41775}{193}\\\frac{685}{193}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{41775}{193},y=\frac{685}{193}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 38y bi aldeetatik.

$$\frac{3}{5}x-38y=-5$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=220,\frac{3}{5}x-38y=-5$$

x eta \frac{3x}{5} berdintzeko, biderkatu \frac{3}{5} balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$\frac{3}{5}x+\frac{3}{5}y=\frac{3}{5}\times 220,\frac{3}{5}x-38y=-5$$

Sinplifikatu.

$$\frac{3}{5}x+\frac{3}{5}y=132,\frac{3}{5}x-38y=-5$$

Egin \frac{3}{5}x-38y=-5 ken \frac{3}{5}x+\frac{3}{5}y=132 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$\frac{3}{5}x-\frac{3}{5}x+\frac{3}{5}y+38y=132+5$$

Gehitu \frac{3x}{5} eta -\frac{3x}{5}. Sinplifikatu egiten dira \frac{3x}{5} eta -\frac{3x}{5}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$\frac{3}{5}y+38y=132+5$$

Gehitu \frac{3y}{5} eta 38y.

$$\frac{193}{5}y=132+5$$

Gehitu 132 eta 5.

$$\frac{193}{5}y=137$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{193}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{685}{193}$$

Ordeztu \frac{685}{193} y balioarekin \frac{3}{5}x-38y=-5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$\frac{3}{5}x-38\times \frac{685}{193}=-5$$

Egin -38 bider \frac{685}{193}.

$$\frac{3}{5}x-\frac{26030}{193}=-5$$

Gehitu \frac{26030}{193} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{3}{5}x=\frac{25065}{193}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{3}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=\frac{41775}{193}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{41775}{193},y=\frac{685}{193}$$