Resolver {l}{x+y=220}{2/5x=3/8y-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 220 } \\ { \frac { 2 } { 5 } x = \frac { 3 } { 8 } y - 5 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=100$$

$$y=120$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{3}{8}y bi aldeetatik.

$$\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=220,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=220$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+220$$

Ordeztu -y+220 balioa x balioarekin beste ekuazioan (\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5).

$$\frac{2}{5}\left(-y+220\right)-\frac{3}{8}y=-5$$

Egin \frac{2}{5} bider -y+220.

$$-\frac{2}{5}y+88-\frac{3}{8}y=-5$$

Gehitu -\frac{2y}{5} eta -\frac{3y}{8}.

$$-\frac{31}{40}y+88=-5$$

Egin ken 88 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{31}{40}y=-93$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{31}{40} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=120$$

Ordeztu 120 y balioarekin x=-y+220 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-120+220$$

Gehitu 220 eta -120.

$$x=100$$

Ebatzi da sistema.

$$x=100,y=120$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{3}{8}y bi aldeetatik.

$$\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=220,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{3}{8}}{-\frac{3}{8}-\frac{2}{5}}&-\frac{1}{-\frac{3}{8}-\frac{2}{5}}\\-\frac{\frac{2}{5}}{-\frac{3}{8}-\frac{2}{5}}&\frac{1}{-\frac{3}{8}-\frac{2}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{31}&\frac{40}{31}\\\frac{16}{31}&-\frac{40}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{31}\times 220+\frac{40}{31}\left(-5\right)\\\frac{16}{31}\times 220-\frac{40}{31}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=100,y=120$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{3}{8}y bi aldeetatik.

$$\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=220,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

x eta \frac{2x}{5} berdintzeko, biderkatu \frac{2}{5} balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y=\frac{2}{5}\times 220,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Sinplifikatu.

$$\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y=88,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Egin \frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5 ken \frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y=88 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$\frac{2}{5}x-\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y+\frac{3}{8}y=88+5$$

Gehitu \frac{2x}{5} eta -\frac{2x}{5}. Sinplifikatu egiten dira \frac{2x}{5} eta -\frac{2x}{5}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$\frac{2}{5}y+\frac{3}{8}y=88+5$$

Gehitu \frac{2y}{5} eta \frac{3y}{8}.

$$\frac{31}{40}y=88+5$$

Gehitu 88 eta 5.

$$\frac{31}{40}y=93$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{31}{40} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=120$$

Ordeztu 120 y balioarekin \frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}\times 120=-5$$

Egin -\frac{3}{8} bider 120.

$$\frac{2}{5}x-45=-5$$

Gehitu 45 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{2}{5}x=40$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{2}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=100$$

Ebatzi da sistema.

$$x=100,y=120$$