Resolver {l}{x+y=204}{2/3y=3/4x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 204 } \\ { \frac { 2 } { 3 } y = \frac { 3 } { 4 } x } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=96$$

$$y=108$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{3}{4}x bi aldeetatik.

$$\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=204$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+204$$

Ordeztu -y+204 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0).

$$-\frac{3}{4}\left(-y+204\right)+\frac{2}{3}y=0$$

Egin -\frac{3}{4} bider -y+204.

$$\frac{3}{4}y-153+\frac{2}{3}y=0$$

Gehitu \frac{3y}{4} eta \frac{2y}{3}.

$$\frac{17}{12}y-153=0$$

Gehitu 153 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{17}{12}y=153$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{17}{12} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=108$$

Ordeztu 108 y balioarekin x=-y+204 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-108+204$$

Gehitu 204 eta -108.

$$x=96$$

Ebatzi da sistema.

$$x=96,y=108$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{3}{4}x bi aldeetatik.

$$\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}&-\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}\\-\frac{-\frac{3}{4}}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}&\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{17}&-\frac{12}{17}\\\frac{9}{17}&\frac{12}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{17}\times 204\\\frac{9}{17}\times 204\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}96\\108\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=96,y=108$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{3}{4}x bi aldeetatik.

$$\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

x eta -\frac{3x}{4} berdintzeko, biderkatu -\frac{3}{4} balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-\frac{3}{4}\times 204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

Sinplifikatu.

$$-\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-153,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

Egin -\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0 ken -\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-153 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y-\frac{2}{3}y=-153$$

Gehitu -\frac{3x}{4} eta \frac{3x}{4}. Sinplifikatu egiten dira -\frac{3x}{4} eta \frac{3x}{4}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-\frac{3}{4}y-\frac{2}{3}y=-153$$

Gehitu -\frac{3y}{4} eta -\frac{2y}{3}.

$$-\frac{17}{12}y=-153$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{17}{12} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=108$$

Ordeztu 108 y balioarekin -\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}\times 108=0$$

Egin \frac{2}{3} bider 108.

$$-\frac{3}{4}x+72=0$$

Egin ken 72 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{3}{4}x=-72$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{3}{4} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=96$$

Ebatzi da sistema.

$$x=96,y=108$$