Resolver {l}{x+y=190}{2x8x=22y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 190 } \\ { 2 x 8 x = 22 y } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{2090}{x_{8}+11}$$

$$y=\frac{190x_{8}}{x_{8}+11}$$

$$x_{8}\neq -11$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 22y bi aldeetatik.

$$2x_{8}x-22y=0$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=190,2x_{8}x-22y=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=190$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+190$$

Ordeztu -y+190 balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x_{8}x-22y=0).

$$2x_{8}\left(-y+190\right)-22y=0$$

Egin 2x_{8} bider -y+190.

$$\left(-2x_{8}\right)y+380x_{8}-22y=0$$

Gehitu -2x_{8}y eta -22y.

$$\left(-2x_{8}-22\right)y+380x_{8}=0$$

Egin ken 380x_{8} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\left(-2x_{8}-22\right)y=-380x_{8}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2x_{8}-22 balioarekin.

$$y=\frac{190x_{8}}{x_{8}+11}$$

Ordeztu \frac{190x_{8}}{11+x_{8}} y balioarekin x=-y+190 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{190x_{8}}{x_{8}+11}+190$$

Gehitu 190 eta -\frac{190x_{8}}{11+x_{8}}.

$$x=\frac{2090}{x_{8}+11}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{2090}{x_{8}+11},y=\frac{190x_{8}}{x_{8}+11}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 22y bi aldeetatik.

$$2x_{8}x-22y=0$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=190,2x_{8}x-22y=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2x_{8}&-22\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}190\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\2x_{8}&-22\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2x_{8}&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2x_{8}&-22\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2x_{8}&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}190\\0\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2x_{8}&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}190\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2x_{8}&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}190\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{22}{-22-2x_{8}}&-\frac{1}{-22-2x_{8}}\\-\frac{2x_{8}}{-22-2x_{8}}&\frac{1}{-22-2x_{8}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}190\\0\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{x_{8}+11}&\frac{1}{2\left(x_{8}+11\right)}\\\frac{x_{8}}{x_{8}+11}&-\frac{1}{2\left(x_{8}+11\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}190\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{x_{8}+11}\times 190\\\frac{x_{8}}{x_{8}+11}\times 190\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2090}{x_{8}+11}\\\frac{190x_{8}}{x_{8}+11}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{2090}{x_{8}+11},y=\frac{190x_{8}}{x_{8}+11}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 22y bi aldeetatik.

$$2x_{8}x-22y=0$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=190,2x_{8}x-22y=0$$

x eta 2x_{8}x berdintzeko, biderkatu 2x_{8} balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2x_{8}x+2x_{8}y=2x_{8}\times 190,2x_{8}x-22y=0$$

Sinplifikatu.

$$2x_{8}x+2x_{8}y=380x_{8},2x_{8}x-22y=0$$

Egin 2x_{8}x-22y=0 ken 2x_{8}x+2x_{8}y=380x_{8} berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2x_{8}x+\left(-2x_{8}\right)x+2x_{8}y+22y=380x_{8}$$

Gehitu 2x_{8}x eta -2x_{8}x. Sinplifikatu egiten dira 2x_{8}x eta -2x_{8}x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$2x_{8}y+22y=380x_{8}$$

Gehitu 2x_{8}y eta 22y.

$$\left(2x_{8}+22\right)y=380x_{8}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 22+2x_{8} balioarekin.

$$y=\frac{190x_{8}}{x_{8}+11}$$

Ordeztu \frac{190x_{8}}{11+x_{8}} y balioarekin 2x_{8}x-22y=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x_{8}x-22\times \frac{190x_{8}}{x_{8}+11}=0$$

Egin -22 bider \frac{190x_{8}}{11+x_{8}}.

$$2x_{8}x-\frac{4180x_{8}}{x_{8}+11}=0$$

Gehitu \frac{4180x_{8}}{11+x_{8}} ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x_{8}x=\frac{4180x_{8}}{x_{8}+11}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2x_{8} balioarekin.

$$x=\frac{2090}{x_{8}+11}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{2090}{x_{8}+11},y=\frac{190x_{8}}{x_{8}+11}$$