Resolver {l}{x+y=187}{4x+2y=284}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 187 } \\ { 4 x + 2 y = 284 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-45$$

$$y=232$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=187,4x+2y=284$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=187$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+187$$

Ordeztu -y+187 balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x+2y=284).

$$4\left(-y+187\right)+2y=284$$

Egin 4 bider -y+187.

$$-4y+748+2y=284$$

Gehitu -4y eta 2y.

$$-2y+748=284$$

Egin ken 748 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2y=-464$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$y=232$$

Ordeztu 232 y balioarekin x=-y+187 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-232+187$$

Gehitu 187 eta -232.

$$x=-45$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-45,y=232$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=187,4x+2y=284$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}187\\284\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}187\\284\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}187\\284\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}187\\284\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-4}&-\frac{1}{2-4}\\-\frac{4}{2-4}&\frac{1}{2-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}187\\284\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{1}{2}\\2&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}187\\284\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-187+\frac{1}{2}\times 284\\2\times 187-\frac{1}{2}\times 284\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-45\\232\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-45,y=232$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=187,4x+2y=284$$

x eta 4x berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4x+4y=4\times 187,4x+2y=284$$

Sinplifikatu.

$$4x+4y=748,4x+2y=284$$

Egin 4x+2y=284 ken 4x+4y=748 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$4x-4x+4y-2y=748-284$$

Gehitu 4x eta -4x. Sinplifikatu egiten dira 4x eta -4x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$4y-2y=748-284$$

Gehitu 4y eta -2y.

$$2y=748-284$$

Gehitu 748 eta -284.

$$2y=464$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=232$$

Ordeztu 232 y balioarekin 4x+2y=284 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$4x+2\times 232=284$$

Egin 2 bider 232.

$$4x+464=284$$

Egin ken 464 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=-180$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=-45$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-45,y=232$$