Resolver {l}{x+y=18}{31x=2(20+y)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 18 } \\ { 31 x = 2 ( 20 + y ) } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{76}{33} = 2\frac{10}{33} \approx 2.303030303$$

$$y = \frac{518}{33} = 15\frac{23}{33} \approx 15.696969697$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta 20+y biderkatzeko.

$$31x=40+2y$$

Kendu 2y bi aldeetatik.

$$31x-2y=40$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=18,31x-2y=40$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=18$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+18$$

Ordeztu -y+18 balioa x balioarekin beste ekuazioan (31x-2y=40).

$$31\left(-y+18\right)-2y=40$$

Egin 31 bider -y+18.

$$-31y+558-2y=40$$

Gehitu -31y eta -2y.

$$-33y+558=40$$

Egin ken 558 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-33y=-518$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -33 balioarekin.

$$y=\frac{518}{33}$$

Ordeztu \frac{518}{33} y balioarekin x=-y+18 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{518}{33}+18$$

Gehitu 18 eta -\frac{518}{33}.

$$x=\frac{76}{33}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{76}{33},y=\frac{518}{33}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta 20+y biderkatzeko.

$$31x=40+2y$$

Kendu 2y bi aldeetatik.

$$31x-2y=40$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=18,31x-2y=40$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\31&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\40\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\31&-2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\31&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\31&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\31&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\40\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\31&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\40\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\31&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\40\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-31}&-\frac{1}{-2-31}\\-\frac{31}{-2-31}&\frac{1}{-2-31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\40\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{33}&\frac{1}{33}\\\frac{31}{33}&-\frac{1}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\40\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{33}\times 18+\frac{1}{33}\times 40\\\frac{31}{33}\times 18-\frac{1}{33}\times 40\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{76}{33}\\\frac{518}{33}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{76}{33},y=\frac{518}{33}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta 20+y biderkatzeko.

$$31x=40+2y$$

Kendu 2y bi aldeetatik.

$$31x-2y=40$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=18,31x-2y=40$$

x eta 31x berdintzeko, biderkatu 31 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$31x+31y=31\times 18,31x-2y=40$$

Sinplifikatu.

$$31x+31y=558,31x-2y=40$$

Egin 31x-2y=40 ken 31x+31y=558 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$31x-31x+31y+2y=558-40$$

Gehitu 31x eta -31x. Sinplifikatu egiten dira 31x eta -31x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$31y+2y=558-40$$

Gehitu 31y eta 2y.

$$33y=558-40$$

Gehitu 558 eta -40.

$$33y=518$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 33 balioarekin.

$$y=\frac{518}{33}$$

Ordeztu \frac{518}{33} y balioarekin 31x-2y=40 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$31x-2\times \frac{518}{33}=40$$

Egin -2 bider \frac{518}{33}.

$$31x-\frac{1036}{33}=40$$

Gehitu \frac{1036}{33} ekuazioaren bi aldeetan.

$$31x=\frac{2356}{33}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 31 balioarekin.

$$x=\frac{76}{33}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{76}{33},y=\frac{518}{33}$$