Resolver {l}{x+y=15}{250x+80y=2900}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 15 } \\ { 250 x + 80 y = 2900 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=10$$

$$y=5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=15,250x+80y=2900$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=15$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+15$$

Ordeztu -y+15 balioa x balioarekin beste ekuazioan (250x+80y=2900).

$$250\left(-y+15\right)+80y=2900$$

Egin 250 bider -y+15.

$$-250y+3750+80y=2900$$

Gehitu -250y eta 80y.

$$-170y+3750=2900$$

Egin ken 3750 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-170y=-850$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -170 balioarekin.

$$y=5$$

Ordeztu 5 y balioarekin x=-y+15 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-5+15$$

Gehitu 15 eta -5.

$$x=10$$

Ebatzi da sistema.

$$x=10,y=5$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=15,250x+80y=2900$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{80-250}&-\frac{1}{80-250}\\-\frac{250}{80-250}&\frac{1}{80-250}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{17}&\frac{1}{170}\\\frac{25}{17}&-\frac{1}{170}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{17}\times 15+\frac{1}{170}\times 2900\\\frac{25}{17}\times 15-\frac{1}{170}\times 2900\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=10,y=5$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=15,250x+80y=2900$$

x eta 250x berdintzeko, biderkatu 250 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$250x+250y=250\times 15,250x+80y=2900$$

Sinplifikatu.

$$250x+250y=3750,250x+80y=2900$$

Egin 250x+80y=2900 ken 250x+250y=3750 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$250x-250x+250y-80y=3750-2900$$

Gehitu 250x eta -250x. Sinplifikatu egiten dira 250x eta -250x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$250y-80y=3750-2900$$

Gehitu 250y eta -80y.

$$170y=3750-2900$$

Gehitu 3750 eta -2900.

$$170y=850$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 170 balioarekin.

$$y=5$$

Ordeztu 5 y balioarekin 250x+80y=2900 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$250x+80\times 5=2900$$

Egin 80 bider 5.

$$250x+400=2900$$

Egin ken 400 ekuazioaren bi aldeetan.

$$250x=2500$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 250 balioarekin.

$$x=10$$

Ebatzi da sistema.

$$x=10,y=5$$