Resolver {l}{x+y=140}{x/y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 140 } \\ { \frac { x } { y } = 7 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{245}{2} = 122\frac{1}{2} = 122.5$$

$$y = \frac{35}{2} = 17\frac{1}{2} = 17.5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. y aldagaia eta 0 ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: y.

$$x=7y$$

Kendu 7y bi aldeetatik.

$$x-7y=0$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=140,x-7y=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=140$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+140$$

Ordeztu -y+140 balioa x balioarekin beste ekuazioan (x-7y=0).

$$-y+140-7y=0$$

Gehitu -y eta -7y.

$$-8y+140=0$$

Egin ken 140 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-8y=-140$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -8 balioarekin.

$$y=\frac{35}{2}$$

Ordeztu \frac{35}{2} y balioarekin x=-y+140 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{35}{2}+140$$

Gehitu 140 eta -\frac{35}{2}.

$$x=\frac{245}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{245}{2},y=\frac{35}{2}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. y aldagaia eta 0 ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: y.

$$x=7y$$

Kendu 7y bi aldeetatik.

$$x-7y=0$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=140,x-7y=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}140\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\1&-7\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}140\\0\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}140\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}140\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-7-1}&-\frac{1}{-7-1}\\-\frac{1}{-7-1}&\frac{1}{-7-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}140\\0\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}140\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{8}\times 140\\\frac{1}{8}\times 140\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{245}{2}\\\frac{35}{2}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{245}{2},y=\frac{35}{2}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. y aldagaia eta 0 ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: y.

$$x=7y$$

Kendu 7y bi aldeetatik.

$$x-7y=0$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=140,x-7y=0$$

Egin x-7y=0 ken x+y=140 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$x-x+y+7y=140$$

Gehitu x eta -x. Sinplifikatu egiten dira x eta -x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$y+7y=140$$

Gehitu y eta 7y.

$$8y=140$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$y=\frac{35}{2}$$

Ordeztu \frac{35}{2} y balioarekin x-7y=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x-7\times \frac{35}{2}=0$$

Egin -7 bider \frac{35}{2}.

$$x-\frac{245}{2}=0$$

Gehitu \frac{245}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{245}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{245}{2},y=\frac{35}{2}$$